Искусство философствования - [23]

Для любой функции переменной x небольшое увеличение x будет сопровождаться небольшим увеличением или уменьшением функции, если функция дискретная. Например, пусть х – радиус круга, а функция – площадь круга, пропорциональная квадрату радиуса. Если радиус несколько увеличивается, то увеличивается площадь круга;

увеличение достигается умножением увеличения радиуса на окружность. Дифференциальное исчисление предоставляет степень (rate) увеличения функции при заданном небольшом увеличении переменной. С другой стороны, если вам известна степень увеличения функции относительно переменной, то интегральное исчисление покажет вам, каково будет в целом увеличение или уменьшение функции при изменении значений переменной. Самым простым из важнейших примеров этому является падение тела в вакууме. В данном случае ускорение тела является постоянной величиной; иными словами, увеличение скорости в любой данный момент времени пропорционально времени. Следовательно, скорость в любой момент времени пропорциональна времени, в течение которого тело падает. Исходя из этого интегральное исчисление показывает, что расстояние, преодолеваемое им при падении, пропорционально квадрату времени падения. Это можно доказать, и не используя интегрального исчисления, что было сделано Галилеем; однако в более сложных случаях интегральное исчисление является ключевым механизмом.

Математика, по крайней мере по ее собственному притязанию, является точным инструментом, и в тех случаях, когда она применяется к реальному миру, всегда существует неоправданное допущение точности. В природе не существует совершенных кругов или треугольников; планеты в реальности не движутся по точным эллипсам, а если бы и двигались, то мы бы об этом не знали. Наши возможности измерения и наблюдения ограничены. Я не говорю о том, что они имеют определенные пределы; напротив, технические достижения постоянно уменьшают эти ограничения. Однако невозможно, чтобы техника работала безошибочно или вне всяких ограничений, потому что какой бы аппарат мы не изобрели, мы, в конце концов, зависим от собственных ощущений, которые не могут различить две очень похожие вещи. Легко доказать, что существуют различия, невоспринимаемые нами. Возьмем, например, три очень близкие оттенка цвета А В и С. Возможно, вы не видите никакого различия между А и В, или между В и С, но видите различие между А и С. Это показывает, что должны существовать невоспринимаемые различия между A и B и между B и C. То же самое будет истинно и в том случае, если Л, В и С будут иметь почти одинаковую длину. Измерение длин, каким бы точным оно ни было, всегда должно оставаться приблизительным, хотя и очень близким приближением.

По этой причине точные научные измерения всегда даются с учетом «вероятной ошибки». Это означает, что данный результат скорее всего не будет выходить за пределы установленной области значений вероятной ошибки. Практически он более или менее точен, но маловероятно, что он не точен больше, чем на величину вероятной ошибки. Хотелось бы, чтобы и в других областях люди допускали то, что их мнения подвержены той или иной вероятной ошибке; но в действительности люди более догматичны в тех случаях, в которых меньше всего оснований для определенности и уверенности. Читатель, вспомнив наше определение «скорости», увидит, что оно предполагает невозможность мгновенного наблюдения. С эмпирической точки зрения, не может существовать такого явления, как мгновенная скорость, потому что для наших измерений времени и расстояния существуют определенные пределы. Предположим, что мы разработаем нашу технику до такого уровня, что сможем измерить сотую или тысячную долю секунды и сотую или тысячную долю сантиметра. В таком случае мы сможем сказать, на сколько сотых или тысячных долей сантиметра продвинулось очень маленькое тело, если оно движется со скоростью меньше, чем сантиметр в секунду. Но мы не сможем сказать, что оно делало в течение этого очень короткого промежутка времени: оно могло двигаться равномерно; оно могло сначала двигаться медленнее, а затем ускориться, или наоборот; оно могло также преодолеть все расстояние за один прыжок. Это последняя гипотеза, кажущаяся странной, на самом деле является частью квантовой теории как наилучшее объяснение некоторых явлений. Мы привыкли рассматривать как само собой разумеющееся, что пространство, время и движение непрерывны, но мы не можем знать этого, потому что не воспринимаем очень небольшие непрерывности. Вплоть до недавнего времени гипотеза непрерывности была рабочей; сегодня в ней начинают сомневаться, в частности в том, что касается очень маленьких явлений.

Точность математики представляет собой абстрактную логическую точность, которая теряется, как только математические размышления применяются к реальному миру. Платон думал (и многие последовали за ним в этом убеждении), что если математика в определенном смысле истинна, то должен существовать идеальный мир, своего рода математический рай, где все происходит именно так, как описывается в учебниках по геометрии. Философ, попадая в рай (а туда, согласно Платону, попадают только философы), будет удовлетворен видом того, чего ему не хватало на Земле: совершенно прямые линии, совершенные круги, совершенные двенадцатигранники и все остальное, необходимое для блаженства. Тогда он поймет, что математика, хотя и неприменима к мирской жизни, представляет собой видение – одновременно и вспоминающее, и пророческое – лучшего мира, из которого вышли мудрецы и куда они возвращаются. Арфы и короны были менее интересны для афинского аристократа, чем для смиренного народа, создавшего христианскую мифологию. Однако христианские теологи, в противовес общим представлениям христиан, принимали многое из платоновского описания рая. В наши дни, когда такого рода вещи стали невозможными, точность стала приписываться Природе, а ученые не сомневаются в том, что универсум функционирует именно так, как его описал Ньютон. Поскольку ньютоновский мир – это мир, созданный Богом, грязный, неточный и т. п. мир, каким мы его знаем, был бы недостоин Создателя. Лишь недавно проблема математической точности, не соответствующей приблизительному характеру знания, получаемого с помощью органов чувств, получила формулировку, полностью свободную от всех теологический аллюзий.