Искусственный интеллект - [154]

Заключение

Реализация программы А.Н. Колмогорова

В статьях [20, 21, 25] и настоящей работе показано, что КМ, имея две компоненты и базируясь на двух принципах КТМ, доказуемо полностью и доказуемо непротиворечиво представляется двухъярусным секвенциальным исчислением (теорией) Кантора - Чёрча - Ген-цена (КЧГ).

Таким образом, программа А.Н. Колмогорова по основаниям математики реализована.

Формализацию областей математики, основания которых образует КТМ или ее части, можно осуществить в КЧГ аналогично тому, как, например, Уильям С. Хэтчер [26] проводит формализацию в известной аксиоматической системе Г. Фреге.

При этом соответствующие определения и конструкции в КЧГ можно ввести, следуя за определениями и построениями В.К. Захарова и А.В. Михалева (см., например, [27]) общей концепции произвольной математической системы в рамках теории множеств NBG Неймана - Бернайса- Гёделя.

Подробности о неразрешимых бесгиповых алгоритмических исчислениях чистой комбинаторной логики Шейнфинкеля-Карри и X-конверсии Чёрча (не образующих теории 1-го порядка, но каждое из которых, обладающее неограниченной комбинаторной полнотой, можно положить в основу двухъярусной секвенциальной теории типа КЧГ) хорошо изложены, например, в монографиях Барендрегта 1985 г. и Вольфенгагена 2004 г. [28, 29] (см. также библ. в [28, 29], работу Резуса 1982 г. [30], труд Хиндли и Кардоне 2005 г. по истории ^.-исчисления и комбинаторной логики [31]). Указанная неограниченная комбинаторная полнота (Х-полнота) является принятой в КЧГ формализацией неограниченного канторовского теоретико-множественного свертывания.

С логическими секвенциальными конструкциями, используемыми в КЧГ, читатель может предварительно познакомиться, например, по известным трудам Генцена, Клини, Ершова и Палютина [32-34].

Когда данная работа была уже подготовлена к печати, автор ознакомился со статьей В.Я. Яцука [35], которую можно рассматривать как введение в предмет; процитирую частично резюме из [35]:

«АКЛ (аппликативная компьютерная логика) представляет собой систему прикладного исчисления секвенций с неограниченным принципом свертывания в форме комбинаторной полноты и состоит из двух частей, первая из которых называется теорией выводимости и является инвариантной к рассматриваемым областям знания. Вторая часть отражает конкретное знание о заданной предметной области. Теория выводимости реализуется в виде двух ступеней: алгоритмической и структурной. Логические связки (с некоторыми ограничениями - А.С.К.) определяются в рамках заданного комбинаторнополного базиса и могут быть выведены автоматически» ([35], с. 29).

В статье [35] имеется интересное неформальное введение (с. 29-30).

Настоящая работа выполнена на кафедре теории вероятностей в кабинете истории и методологии математики и механики механикоматематического факультета МГУ. Впервые основные её положения были доложены 22 апреля 2002 г. на научной конференции «Ломоносовские чтения МГУ».

Автор искренне благодарен всем, кто явно или неявно содействует реализации программы А.Н. Колмогорова по основаниям математики, особенно Юрию Васильевичу Прохорову, представившему в ДАН статьи [7, 20, 21], Анатолию Тимофеевичу Фоменко, опубликовавшему мою работу [6], Сергею Ивановичу Адяну, непонимание которым статьи [7] весьма помогло автору выделить более явно теоретико-множественный колмогоровский путь в основаниях современной науки, а также всем сотрудникам механико-математического и философского факультетов МГУ и других научных организаций России и зарубежья, обсуждавшим мои результаты.

ЛИТЕРАТУРА

1. КузичееА.С. Паранспротиворечивость интеллектуальных систем компьютерных логик. //Сб. «Технология проектирования интеллектуальных систем», М., МДНТП, 1989, с. 132-139.

2. Кузичее А.С. О роли теорем Гёделя о неполноте в основаниях наук. //«Философия и будущее цивилизации. Тезисы докладов и выступлений IV Российского философского конгресса», в 5 тг., Том 1, М, Современные тетради, 2005, с. 726-727.

3. Вейль Г. Математика и логика (1946). //Вейль Г. Избранные труды. Математика. Теоретическая физика. М., Наука, 1984, с. 328-340.

4. Рид К Гильберт. С приложением обзора Германа Вейля математических трудов Гильберга (1970). М., Наука, 1977,368 с.

5. Крайзель Г. Биография Курта Гёделя. Успехи математических наук (УМН), 1988, март - апрель, т.43, вып.2 (260), с. 175 -216; май - июнь, т.43, вып.З (261), с.203 - 238.

6. КузичееА.С. О негёделевской перестройке арифметики и других аксиоматических теорий первого порядка по Колмогорову. Доказательство их непротиворечивости. М., Изд-во механико-математического ф-та МГУ, 2004,36 с.

7. Кузичее АС. Колмогоровская редукция и непротиворечивость. ДАН, 1999, т. 367, №2, с. 161-163.

8. Кузичее А.С. Арифметические теории, строящиеся на основе /.-конверсии. Доклады Академии наук (ДАН), 1981, т.261, № 4, с.792-796.

9. КузичееА.С.Арифметически непротиворечивые /.-теории. ДАН, 1982, т. 262, №4, с.795-799.

10. Кузичее А.С.Аксиоматические теории в комбинаторно полных системах.

ДАН, 1982, т. 264, № 3, с.538-542.

11.