Гюйгенс Волновая теория света. В погоне за лучом - [41]
С точки наблюдения Ob можно оценить эту симметрию. Чтобы сказать, что наблюдал бы Or, мы должны отделить от двух масс часть движения, вызванного передвижением корабля. Возвращаясь к примеру с автомобилем, если мы остановимся на обочине, машины, которые ехали в нашем направлении, приобретут нашу скорость, а те, что двигались в противоположном, потеряют ее. То есть m>2 и m>1 приобретут и потеряют υ/2 соответственно. После столкновения Or увидит, что m>1 остается в неподвижности, а m>2 удаляется вправо со скоростью υ.
Подход, применимый к этому конкретному случаю, легко позволяет предугадать результат любого столкновения между двумя телами, имеющими равную массу, которые движутся с разной скоростью. Что же происходит, когда массы не равны друг другу? Это условие, казалось бы, нарушает симметрию, но Гюйгенс сумел восстановить ее. Для каждой скорости лодки существует скорость, позволяющая нам иметь удобную точку наблюдения, в которой каждое тело меняет свое направление после столкновения. Это
(m>1 υ>1 - m>2 υ>2)/(m>1 + m>2)
В числителе этого выражения скорость умножается на массу и получается физическая величина, которая называется моментом (момент р тела массы m равен р = m · υ). Разделив его опять на массу, получаем скорость. Рассмотрим следующую ситуацию.
Теперь массы отличаются: m>2 больше, чем m>1. Чтобы лучше описать столкновение, предположим, что υ>1 больше υ>2 (или еще лучше: m>1 · υ>1 > m>2 · υ>2). Если мы присутствуем при столкновении корабля, который движется вправо с постоянной скоростью, то:
(m>1 υ>1 - m>2 υ>2)/(m>1 + m>2)
Мы будем наблюдать следующее:
Поскольку m>2 больше, чем m>1 для наблюдателя на борту корабля маленькая масса будет двигаться быстрее, чем большая. Из своей смотровой башни Ob заметит, что m>1 после столкновения начинает двигаться в обратном направлении, как и m>2.
Чтобы понять, что наблюдает Or, стоящий неподвижно на берегу, мы должны прибавить
(m>1 υ>1 - m>2 υ>2)/(m>1 + m>2)
к массе, которая двигается в направлении корабля (m>2), и отнять самую большую скорость от массы, которая двигается в обратном направлении, m>1 Так мы получим результат, очень далекий от интуитивного:
На первый взгляд довольно произвольное выражение скорости корабля соответствует так называемому центру масс. Это абстрактное понятие, очень полезное для изучения поведения многих физических систем. Для двух тел m>1 и m>2, расположенных в х>1 и х>2, отмечается точка на прямой, соединяющей их. Ее положение х>cm определяется как:
x>cm = (m>1 · x>1 + m>2 · x>2)/(m>1 + m>2).
Центр масс обозначает точку равновесия, на которую можно поставить доску, уравновешивающую оба тела (см. рисунок). Если массы двигаются, то двигаться будет обычно и точка x>cm. Ее скорость будет равна
v>cm = (m>1 · v>1 + m>2 · v>2)/(m>1 + m>2).
Поменяв знак v>2, чтобы показать, что эта масса начинает двигаться влево, мы получим выражение для скорости корабля, который, следовательно, находится в центре масс — наилучшем месте, чтобы наблюдать симметрию столкновения. Учитывая закон сохранения момента, мы получаем, что столкновение не меняется при изменении скорости центра масс.
Мы можем подробнее рассмотреть, как меняются скорости для наблюдателей, находящихся на корабле и на берегу. Возьмем переменные V>1ba (скорость массы m>1, какой она кажется с корабля до столкновения), V>2ba (скорость массы m>2 с корабля до столкновения), V>1oa (скорость массы m>v какой она кажется с берега до столкновения), v>2oa (скорость массы m>2 с берега до столкновения) и V>b (скорость корабля). Для O>b до столкновения скорости тел равны:
V>1ba = V>1oa - V>b = V>1 - (m>1 · V>1 - m>2 · V>2)/(m>1 + m>2) = (m>2 · (V>1 + V>2))/(m>1 + m>2) ,
V>2ba = V>2oa - V>b = -V>2 - (m>1 · V>1 - m>2 · V>2)/(m>1 + m>2) = (m>1 · (V>1 + V>2))/(m>1 + m>2).
Из этого выражения можно получить один из ключей симметрии в центре масс: в нем оба тела имеют одинаковый момент (m>1· V1>ba = m>2· V>2ba). После столкновения направления меняются, то есть:
V>1bd = -(m>2 · (V>1 + V>2))/(m>1 + m>2), V>2bd = (m>1 · (V>1 + V>2))/(m>1 + m>2),
где индекс d теперь заменяет а, обозначая, что это скорости после столкновения. Чтобы получить скорость с берега, достаточно убрать первое изменение:
V>1od = V>1bd + V>b = -(m>2 · (V>1 + V>2))/(m>1 + m>2) + (m>1 · V>1 - m>2 · V>2)/(m>1 + m>2) =
- ((m>2 - m>1) · V>1 + 2 · m>2 · V>2)/(m>1 + m>2),
V>2od = V>2bd + V>b = (m>1 · (V>1 + V>2))/(m>1 + m>2) + (m>1 · V>1 - m>2 · V>2)/(m>1 + m>2) =
- (2 · m>1 · V>1 + (m>1 - m>2) · V>2)/(m>1 + m>2)
От внимательного взгляда Гюйгенса не ускользнули две новые симметрии. Хотя при столкновении скорости тел меняются, есть величины, которые остаются неизменными. Прежде всего это масса, а также сумма произведений каждой массы и ее скорости (момента) до и после столкновения. То есть:
m>1 · υ>1до + m>2 · υ>2до = m>1 · υ>1после + m>2 · υ>2после
p>1до + p>2до = p>1после + p>2после.
Эту симметрию можно наблюдать и в других физических ситуациях. Обобщая, мы можем сказать, что она является одним из столпов физики — законом сохранения углового момента. Гюйгенс отметил наличие еще одной величины — суммы произведения каждой массы на квадрат ее скорости до и после столкновения:
m>1 · υ>1²>до + m>2 · υ>2²>до = m>1 · υ>1²>после + m>2 · υ>2²>после
