Глиняные книги - [74]

Вавилоняне, помимо десятиричной системы, пользовались также шестидесятиричной. Суть ее заключается в том, что в основу счисления положена цифра шестьдесят.

Поясним это примером.

Знак  обозначал единицу. Но если за ним следовал знак  (=10), то значение знака  увеличивалось в 60 раз. В некоторых случаях знак  мог обозначать 60² = 3600 и даже 60³ = 216 000.

Жители Двуречья пользовались одновременно двумя системами — десятиричной и шестидесятиричной, порою комбинируя их. Это усложняло счисление и требовало больших навыков при чтении и написании чисел.

Попробуем разобраться в вавилонских цифрах и числах на конкретных примерах.

Вавилонская единица — , как мы уже видели, очень напоминает нашу единицу. Это, по существу, вертикальная черточка, превратившаяся в клин в связи с тем, что ее писали на мягкой глине. Двойка изображалась двумя клинышками, тройка — тремя и так далее до десяти. Но, начиная с цифры четыре, — клинышки располагались в два и три этажа. Так, например, цифра 5 обозначалась знаком 

; цифра 9 — 

. Мы уже знакомы с начертанием цифры 10 — , напоминающей угол. Знак  использовался для написания десятков до пятидесяти. Так, например, число 20 изображалось: 

; число 50 выглядело: 

.

Но знак  — особенный. Он мог обозначать не только 10, но и 600 (то есть 10×60) — в зависимости от места, занимаемого им в числовом комплексе.

Для сотни употреблялся знак 

, для тысячи — знак 

. Нетрудно убедиться, что последний состоит из комбинации знаков 10 и 100, при этом подразумевается их произведение:

1000 = 10×100.

Как же, пользуясь вавилонской клинописью, написать число 12? Очень просто. Для этого употребим знак десятки и знак двойки. Знак 

 = 10 + 2 = 12.

Попробуем сейчас написать число 72. Оно будет выглядеть таким образом: .

Знак , поскольку за ним следует десятка , теперь уже читается не как единица, а как шестьдесят.

Знак 

 = 60 + 10 + 2 = 72.

Если нам нужно написать число 672, то мы к числу 72 припишем слева цифру . Таким образом, число 672 графически изображается так:

Знак 

 = 600 + 60+ 10 + 2 = 672.

В данном числовом комплексе один и тот же знак 

в одном случае обозначает 600, а в другом — 10.

Припишем слева к этому цифровому комплексу знак , и мы получим совершенно новое число: 4272.

Знак 

 = 3600 + 672 = 4272.

В данном числовом комплексе знак  в одном случае обозначает 3600, в другом — 60, а в третьем — 1.

Приписав слева к числу 4272 еще один знак 

, получим — по тому же самому принципу — число 7872.

Знак 

 = 3600 + 3600 + 672 = 7872.

В ниневийской библиотеке была найдена таблица квадратов и кубов чисел от 1 до 38, служившая, очевидно, справочником для измерения площади полей и объема зданий. Составлена она была по шестидесятиричной системе.

Во всех приведенных выше примерах мы имеем дело со сложением цифр, хотя вавилонская клинопись и не знала знака, равноценного нашему плюсу, — он подразумевался. Для вычитания же имелся специальный знак 

, равнозначный минусу. Поэтому число 19, к примеру, можно было изобразить двояко: 

или 

.

Первая группа знаков обозначает 10 + 9; вторая — 20 – 1. Дроби, которыми пользовались жители древнего Двуречья, имели характерную особенность: их знаменатель был равен 6, 60, 360 или 3600. Они обычно не писали ¹/₂, а писали ³/₆; писали ⁴/₆, а не ²/₃ и так далее.

Знали вавилоняне и другие дроби, с любым знаменателем. Но в этом случае числитель всегда равнялся единице.

Счетные таблицы

В Вавилонии были в большом ходу различного рода справочные таблицы. Они сильно облегчали вычисления, которые приходилось производить повседневно.

Наша ученическая таблица умножения рассчитана на числа от единицы до ста. Вавилоняне пользовались таблицей умножения от 1 до 180 000. Ими была выработана краткая система записи, которая выглядела примерно так:

Первый столбец обозначает 2 × 1 = 2; 2 × 2 = 4; 2 × 3 = 6; 2 × 4 = 8. Постоянный множитель (2) писали только один раз, затем опускали.

Второй столбец обозначает 1 × 6 = 6; 2 × 6 = 12; 3 × 6 = 18; 4 × 6 = 24. Здесь постоянный множитель (6) вовсе отсутствует.

Значительно сложнее были таблицы, которыми пользовались при делении. Их характерная особенность — отсутствие делимого, которое подразумевалось.

В той же библиотеке Ашшурбанипала найдена таблица для возведения в степень и извлечения корня. Так как она служила сугубо практическим целям — измерению площадей и объемов, то в ней зафиксированы лишь квадратные и кубические корни. Вавилонянам не было нужды возводить числа в четвертую, пятую и более высокие степени, поэтому и отсутствовали соответствующие таблицы.

Запись была упрощенной:

Нетрудно догадаться, что первый столбец означает √1 = 1, √4 = 2, √9 = 3, √16 = 4.

Второй столбец надо читать так: ³√1 = 1, ³√8 = 2, ³√27 = 3, ³√64 = 4.

Те же таблицы, читаемые справа налево, служили для возведения в степень.

Измерение площадей и объемов

В практической жизни особое значение имело точное измерение полей, садов, строений. Правда, все обрабатываемые и возделываемые земельные участки были измерены еще в незапамятные времена, но ежегодные разливы рек приносили большое количество ила, который покрывал поля и уничтожал межи. Поэтому иногда после спада воды нужно было вновь перемеривать все участки, чтобы установить точные границы между ними. При купле, продаже, делении наследства также необходимо было измерить величину участков.