Гидравлика - [9]

3) пропорциональны соответствующие члены строк 2 и 3, т. е.

где а – некоторая постоянная величина; если подставить (3) в (2), то получим уравнение линий тока (1), поскольку из (3) следует:

ω_x= aUx; ω_y= aUy; ω_z= aUz. (4)

Здесь следует интересный вывод о том, что векторы линейной скорости и угловой скорости сонаправлены, то есть параллельны.

В более широком понимании надо представить себе следующее: так как рассматриваемое движение установившееся, то получается, что частицы жидкости движутся по спирали и их траектории по спирали образуют линии тока. Следовательно, линии тока и траектории частиц – одно и то же. Движение такого рода называют винтовым.

4) вторая строка определителя (точнее, члены второй строки) равна нулю, т. е.

ω_x= ω_y= ω_z= 0. (5)

Но отсутствие угловой скорости равносильно отсутствию вихревости движения.

5) пусть строка 3 равна нулю, т. е.

Ux = Uy = Uz = 0.

Но это, как нам уже известно, условие равновесия жидкости.

Анализ уравнения Бернулли завершен.

27. Примеры прикладного применения уравнения Бернулли

Во всех случаях требуется определить математическую формулу потенциальной функции, которая входит в уравнение Бернулли: но эта функция имеет разные формулы в разных ситуациях. Ее вид зависит от того, какие массовые силы действуют на рассматриваемую жидкость. Поэтому рассмотрим две ситуации.

Одна массовая сила

В этом случае подразумевается сила тяжести, которая выступает в качестве единственной массовой силы. Очевидно, что в этом случае ось Z и плотность распределения Fz силы Ппротивонаправлены, следовательно,

Fx = Fy = 0; Fz = —g.

Поскольку – dП = Fxdx + Fydy + Fzdz, то – dП = Fzdz,окончательно dП = —gdz.

Интегрируем полученное выражение:

П = —gz + C, (1)

где С – некоторая постоянная.

Подставив (1) в уравнение Бернулли, имеем выражение для случая воздействия на жидкость только одной массовой силы:

Если разделить уравнение (2) на g (поскольку оно постоянное), то

Мы получили одну из самых часто применяемых в решении гидравлических задач формул, поэтому следует ее запомнить особенно хорошо.

Если требуется определить расположение частицы в двух разных положениях, то выполняется соотношение для координат Z₁ и Z₂, характеризующие эти положения

Можно переписать (4) в другой форме

28. Случаи, когда массовых сил несколько

В этом случае усложним задачу. Пусть на частицы жидкости действуют следующие силы: сила тяжести; центробежная сила инерции (переносит движение от центра); кориолисовая сила инерции, которая заставляет частицы вращаться вокруг оси Z с одновременным поступательным движением.

В этом случае мы получили возможность представить себе винтовое движение. Вращение происходит с угловой скоростью w. Нужно представить себе криволинейный участок некоторого потока жидкости, на этом участке поток как бы вращается вокруг некоторой оси с угловой скоростью.

Частным случаем такого потока можно считать гидравлическую струю. Вот и рассмотрим элементарную струйку жидкости и применим в отношении к ней уравнение Бернулли. Для этого поместим элементарную гидравлическую струю в координатную систему XYZ таким образом, чтобы плоскость YOX вращалась вокруг оси O_Z.

Будем считать, что U – местная скорость жидкости во вращающейся плоскости YOX. Пусть

Fx₁= Fy₁= 0; Fz₁=—g —

составляющие силы тяжести (то есть ее проекции на оси координат), отнесенные к единичной массе жидкости. К этой же массе приложена вторая сила – сила инерции ω²r, где r – расстояние от частицы до оси вращения ее компоненты.

Fx₂= ω²x; Fy₂= ω²y; Fz₂= 0

из-за того, что ось OZ «не вращается».

Окончательно уравнение Бернулли. Для рассматриваемого случая:

Или, что одно и то же, после деления на g

Если рассмотреть два сечения элементарной струйки, то, применив вышеуказанный механизм, легко убедиться, что

где z₁, h₁, U₁, V₁, z₂, h₂, U₂, V₂ – параметры соответствующих сечений

29. Энергетический смысл уравнения Бернулли

Пусть теперь имеем установившееся движение жидкости, которая невязкая, несжимаемая.

И пусть она находится под воздействием сил тяжести и давления, тогда уравнение Бернулли имеет вид:

Теперь требуется идентифицировать каждое из слагаемых. Потенциальная энергия положения Z – это высота элементарной струйки над горизонтальной плоскостью сравнения. Жидкость с массой М на высоте Z от плоскости сравнения имеет некоторую потенциальную энергию MgZ. Тогда

Это та же потенциальная энергия, отнесенная к единичной массе. Поэтому Z называют удельной потенциальной энергией положения.

Движущаяся частица с массой Ми скоростью u имеет вес MG и кинематическую энергию U2/2g. Если соотнести кинематическую энергию с единичной массой, то

Полученное выражение есть не что иное, как последнее, третье слагаемое в уравнении Бернулли. Следовательно, U²/ 2 – это удельная кинетическая энергия струйки. Таким образом, общий энергетический смысл уравнения Бернулли таков: уравнение Бернулли представляет собой сумму, содержащую в себе полную удельную энергию сечения жидкости в потоке:

1) если полная энергия соотнесена с единичной массой, то она есть сумма gz + p/ρ + U²/ 2;

2) если полная энергия соотнесена с единичным объемом, то ρgz + p + pU