Гидравлика - [7]
Само полное ускорение можно назвать некоторой субстанцией, которая является суммой проекций
du>x/dt, du>y/dt, du>z/dt,
19. Уравнение неразрывности жидкости
Довольно часто при решении задач приходится определять неизвестные функции типа:
1) р = р (х, у, z, t) – давление;
2) n>x(х, у, z, t), ny(х, у, z, t), n>z(х, у, z, t) – проекции скорости на оси координат х, у, z;
3) ρ (х, у, z, t) – плотность жидкости.
Эти неизвестные, всего их пять, определяют по системе уравнений Эйлера.
Количество уравнений Эйлера всего три, а неизвестных, как видим, пять. Не хватает еще двух уравнений для того, чтобы определить эти неизвестные. Уравнение неразрывности является одним из двух недостающих уравнений. В качестве пятого уравнения используют уравнение состояния сплошной среды.
Формула (1) является уравнением неразрывности, то есть искомое уравнение для общего случая. В случае несжимаемости жидкости ∂ρ/dt = 0, поскольку ρ = const, поэтому из (1) следует:
поскольку эти слагаемые, как известно из курса высшей математики, являются скоростью изменения длины единичного вектора по одному из направлений X, Y, Z.
Что касается всей суммы в (2), то она выражает скорость относительного изменения объема dV.
Это объемное изменение называют пооразному: объемным расширением, дивергенцией, расхождением вектора скоростей.
Для струйки уравнение будет иметь вид:
где Q – количество жидкости (расход);
ω– угловая скорость струйки;
∂l – длина элементарного участка рассматриваемой струйки.
Если давление установившееся или площадь живого сечения ω = const, то ∂ω /∂t = 0, т. е. согласно (3),
ρ∂Q/∂l = 0, следовательно,
20. Характеристики потока жидкости
В гидравлике потоком считают такое движение массы, когда эта масса ограничена:
1) твердыми поверхностями;
2) поверхностями, которые разделяют разные жидкости;
3) свободными поверхностями.
В зависимости от того, какого рода поверхностями или их сочетаниями ограничена движущаяся жидкость, различают следующие виды потоков:
1) безнапорные, когда поток ограничен сочетанием твердой и свободной поверхностей, например, река, канал, труба с неполным сечением;
2) напорные, например, труба с полным сечением;
3) гидравлические струи, которые ограничены жидкой (как мы увидим позже, такие струйки называют затопленными) или газовой средой.
Живое сечение и гидравлический радиус потока. Уравнение неразрывности в гидравлической форме
Сечение потока, с которого все линии тока нормальны (т. е. перпендикулярны), называется живым сечением.
Чрезвычайно важное значение имеет в гидравлике понятие о гидравлическом радиусе
Для напорного потока с круглым живым сечением, диаметром d и радиусом r>0, гидравлический радиус выражается
При выводе (2) учли
Расход потока – это такое количество жидкости, которое проходит через живое сечение за единицу времени.
Для потока, состоящего из элементарных струек, расход:
где dQ = dω – расход элементарного потока;
U– скорость жидкости в данном сечении.
Q = uw.
21. Разновидность движения
В зависимости от характера изменения поля скоростей различают следующие виды установившегося движения:
1) равномерное, когда основные характеристики потока – форма и площадь живого сечения, средняя скорость потока, в том числе по длине, глубине потока (если движение безнапорное), – постоянны, не изменяются; кроме того, по всей длине потока вдоль линии тока местные скорости одинаковы, а ускорений вовсе нет;
2) неравномерное, когда ни один из перечисленных для равномерного движения факторов не выполняется, в том числе и условие параллельности линий токов.
Существует плавно изменяющееся движение, которое все же считают неравномерным движением; при таком движении предполагают, что линии тока примерно параллельны, и все остальные изменения происходят плавно. Поэтому, когда направление движения и ось ОХ сонаправлены, то пренебрегают некоторыми величинами
Ux ≈ U; Uy = Uz = 0. (1)
Уравнение неразрывности (1) для плавно изменяющегося движения имеет вид:
аналогично для остальных направлений.
Поэтому такого рода движение называют равномерным прямолинейным;
3) если движение нестационарное или неустановившееся, когда местные скорости с течением времени изменяются, то в таком движении различают следующие разновидности: быстро изменяющееся движение, медленно изменяющееся движение, или, как часто его называют, квазистационарное.
Давление разделяют в зависимости от количества координат в описывающих его уравнениях, на: пространственное, когда движение трехмерное; плоское, когда движение двухмерное, т. е. Uх, Uy или Uz равна нулю; одномерное, когда движение зависит только от одной из координат.
В заключение отметим следующее уравнение неразрывности для струйки, при условии, что жидкость несжимаемая, т. е. ρ= const, для потока это уравнение имеет вид:
Q = υ>1ω>1= υ2ω>2= … = υ>iω>i= idem, (3)
где υ>iω>i – скорость и площадь одного и того же сечения с номером i.
Уравнение (3) называют уравнением неразрывности в гидравлической форме.
22. Дифференциальные уравнения движения невязкой жидкости
Уравнение Эйлера служит одним из фундаментальных в гидравлике, наряду с уравнением Бернулли и некоторыми другими.
