Геометрия, динамика, вселенная - [29]

8. ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СОСТОЯНИЙ

Рассмотрим пример: систему невзаимодействующих частиц, движущихся по классическим траекториям. Каждой частице в момент времени t соответствуют свои координаты и проекции импульса. Таким образом, каждой точке видимого пространства соответствует значение вектора импульса. Можно рассматривать движение системы частиц в этом пространстве, не придавая совокупности импульсов никакого геометрического смысла. Кроме того, можно полагать, что вся совокупность координат играет роль базы, а векторы импульсов — слоев. При отсутствии взаимодействия подобное расслоенное пространство тривиально, а использование в данном случае образа расслоенного пространства и его несколько непривычных для физиков понятий — ненужное усложнение. Разумнее рассматривать изолированно два пространства: конфигурационное (координаты) и импульсное.

Однако ситуация меняется, если пытаться интерпретировать внутренние квантовые числа элементарных частиц. Здесь мы остановимся на геометрической интерпретации спина, изотопического спина и цвета (об этих квантовых числах см. Дополнение).

Введем вектор, характеризующий состояние системы, которую для определенности мы будем отождествлять с частицей. В первом приближении под состоянием следует понимать значения ее координат и вектора импульса.

Однако если пытаться включить в понятие состояния значения внутренних квантовых чисел, то элементарная (привычная) наглядность состояния частицы утрачивается. Если понятие спина частицы можно отождествить с вращением вектора состояния в обычном конфигуральном пространстве (например, пространстве Минковского), то уже при попытке наглядно геометрически интерпретировать изотопический спин возникают определенные трудности. Формализмы обычного и изотопического спинов тождественны. Они соответствуют вращениям вектора состояния в трехмерном пространстве`. В интерпретации спина проблем нет. Это наше привычное евклидово пространство. Однако в каком пространстве вращается вектор изотопического спина? Со времен введения понятия изотопического спина (Гейзенберг, 1932) произносили слова, похожие на заклинание: вектор изотопического спина вращается в воображаемом «зарядовом» пространстве.[12]

Однако, используя язык расслоенных пространств, этому заклинанию можно придать некоторый физико-геометрический смысл. Допустим, что изотопическое пространство является слоем над базой — пространством Евклида (Минковского). Иначе говоря, мы представляем реальное физическое пространство как расслоенное пространство с базой — видимым пространством и слоем — изотопическим (зарядовым) пространством. Нам нужно, чтобы свойства этого слоя удовлетворяли двум условиям: 1) слой должен быть трехмерной сферой (аналог пространства, в котором вращается вектор обычного спина), 2) размеры этой сферы должны быть очень малы, во всяком случае, много меньше расстояний 10**-16 см, хорошо изученных на опыте. Если бы радиус слоя превышал 10**-16 см, то слой изотопическое пространство — проявлялся бы на экспериментах, в основе которых лежат представления о реальном физическом пространстве. Этот эффект, например, проявлялся бы в отклонении наблюдаемого сечения рассеяния позитронов на электронах от вычисленного значения сечения. Поскольку такое отклонение отсутствует, то следует сделать вывод, что если изотопическое пространство и реально, то его размеры (размеры слоя) весьма малы. В дальнейшем, в гл.3, мы оценим эти размеры.

Исключительная малость размеров изотопического пространство делает в известном смысле иллюзорной попытку провести грань между словами «реальное» и «воображаемое» пространство. На опыте это пространство ненаблюдаемо, а слова: «изотопическое пространство есть слой над базой видимое пространство» — имеют в значительной степени филологические смысл.

≡=РИС. 5

Подобная квалификация кажется тем более оправданной, поскольку простая геометризация изотопического спина никак не увязывается с взаимодействием частиц. Чтобы реализовать связи в треугольнике геометрия — изотопический спин взаимодействие, нужна руководящая идея. Пока мы ограничимся постулированием такой идеи, а в гл.3 подробно изложим аргументы в ее пользу.

В настоящее время представляется, что основой сформулированного выше «треугольника» является калибровочная инвариантность. В качестве предварительного оправдания подобного постулата можно привести довод: калибровочная симметрия (правда, в различных модификациях) лежит в основе четырех известных взаимодействий.

Можно наглядно (но упрощенно) представить геометрическую интерпретацию изотопического спина (рис. 5). К каждой точке прямой «прикреплена» сфера произвольного (единичного) радиуса, в которой вращается вектор состояния, зависящий от координаты. Разумеется, реально точка базового пространства имеет три, а не одно измерение, однако представить наглядную 4-мерную конструкцию невозможно.

9. МНОГОМЕРНАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ВЗАИМОДЕЙСТВИЙ

Для понимания дальнейшей процедуры геометризации взаимодействия нужно четко представить следующие положения:

1. Взаимодействие обуславливается свойствами частиц переносчиков взаимодействия, и в частности их изотопическим спином (см. Дополнения).