Геометрия, динамика, вселенная - [26]

В этом разделе мы изложим элементарные представления о калибровочной симметрии и ее фундаментальной роли.

Верные нашей схеме, мы рассмотрим простейшую систему, состоящую из двух тел. Первое, тяжелое, определяет систему отсчета, воздействует на второе тело и создает статическое (независящее от времени) поле. Движение второго тела (частицы) определяется этим полем. Движение второго тела (частицы) определяется этим полем. Понятие калибровочной инвариантности основано на постулате существования некоторой неизмеряемой на опыте функции состояния системы, но определяющей это состояние. В частном случае статического электрического поля такой функцией состояния является потенциал FI. Известно, что абсолютное значение FI не определяет никакие физические характеристики системы. Простейшее проявление этого принципа — безопасность прикосновения к одному из двух проводов, по которым протекает ток. Более сложным выводом является утверждение, что энергия системы, или работа, реализуемая при перемещении из точки x| в точку x|, определяется не абсолютными

1 2 значениями потенциалов FI(x|) и FI(x|), а исключительно их

1 2 разностью FI(x|) — FI(x|). Следовательно, значение

1 2 потенциала определено с точностью до аддитивной постоянной. Если во всем пространстве (для статической системы) изменить потенциал на одну и ту же величину b, то физическая ситуация останется неизменной.

Этот пример — простейшее и давно известное проявление калибровочной инвариантности. Однако из данного выше общего определения калибровочной инвариантности следует неоднозначность постулируемой функции состояния. Действительно, если функция определяет состояние в точке x, но не измеряется на опыте, то все физические характеристики должны зависеть от производных этой функции или (как в случае статического поля, рассмотренного выше) от разности FI(x|) — FI(x|). В обоих случаях прибавление к функции FI

1 2 величины b

FI' — > FI+b (41)

не меняет физическую ситуацию.

Различают два вида калибровочной инвариантности: 1) величина b=const(x), т. е. постоянна во всем пространстве (в этом случае говорят о глобальной калибровочной инвариантности); b=b(x) (этот случай соответствует локальной инвариантности

Мы остановимся в основном на более простом первом случае. Далее мы продемонстрируем простейшее приложение калибровочного принципа — вывод закона Кулона и закона сохранения в электростатике.

Простейшие соображения таковы. Поскольку рассматриваемая система состоит из двух тел, то вектор силы, действующий на пробное тело, должен быть направлен по линии, соединяющей оба тела. Единственный вектор, удовлетворяющий этому условию и калибровочной инвариантности, есть grad TI = d FI / dr. В частности, работа, производимая такими силами, равна интегралу

r| 2 —\ \ d FI \ —- dr = FI (r|) — FI (r|). \ dr 1 2

\ \- r| 1

Существенно, что в рамках электростатики осуществляется глобальное (а не локальное) калибровочное преобразование. Отсюда можно вывести важное следствие: если потенциал нашей системы представляется некоторой функцией FI(r), то калибровочное преобразование (изменение потенциала в каждой точке на постоянную величине b) не изменяет основного свойства пространства: изотропию и однородность. Поскольку наша система относительно тела отсчета была сферически-симметричной, то, следовательно, все наблюдаемые физические величины (энергия, сила, действующая на пробное тело) также должны характеризоваться сферической симметрией.

Таким образом, величины grad FI или FI(x|) — FI(x|)

1 2 определяют наблюдаемые физические величины. Отсюда следует, что работа, произведенная калибровочным полем, однозначно определяется разностью FI(x|) — FI(x|) и не зависит от пути,

1 2 по которому двигалась пробная частица. Тогда можно показать, что число силовых линий статического калибровочного поля остается неизменным в пространстве (во времени оно неизменно вследствие условия статичности). Действительно, существуют две возможности изменения числа силовых линий: 1) их «обрыв» на границе некоторой пространственной области и 2) пересечение, «взаимодействие» силовых линий в некоторых точках x|, x|…. ≠ x|, x|. Обе возможности противоречат

3 4 1 2 следствию о независимости работы от пути, проходимого частицей. Действительно, рассмотрим первое допущение. Работа, производимая при переносе тела из точки x| до

1 границы области, зависит от точки границы x|, а работа,

k производимая при переносе тела из точки x| в точку x|, равна

k 2 нулю. Следовательно, суммарная работа зависит от пути, что противоречит основному постулату.

Если же силовые линии пересекаются, то силы, действующие на пробную частицу, зависят от конкретной формы пересечения силовых линий в некоторых точках x|…, x|.

1 k Это должно также привести к зависимости работы от пути. Следовательно, число силовых линий калибровочного поля (FI' — > FI+b) точечного источника в статическом случае взаимодействия в том смысле, который указан в разд.3 этой главы. Для такого случая выполняется закон F~1/r**2.

Вывод о неизменности числа силовых линий можно получить из калибровочной инвариантности и несколько иным путем. Поместим в начало отсчета две заряженные частицы, обладающие зарядами e| и e|, характеризующими их силовые поля.