Геометрическая рапсодия - [53]
...И здесь, заключая рассказ о книге "Гедель, Эсхер, Бах: нескончаемая золотая цепь", хочется сказать несколько слов о связи между математикой и философией, потому что, быть может, именно этих рассуждений не хватает книге Хофстадтера, обнаружившего не лежащую на поверхности близость образов, созданных средствами музыки и графики, математическим идеям.
Математика и философия многие века шли рука об руку, более того они были, в сущности, нерасторжимы: философы считали себя математиками, математики рассуждали как философы. Но и разойдясь, они не утратили "взаимности": философы по-прежнему находили в математических абстракциях опору для своих выводов, а математики, как и раньше, нередко по самым разным поводам обращались к философии. В наше время связь эта приобрела особое значение. "Неожиданная, на первый взгляд, не заданная изначально приложимость законов математики к физическому миру многих сбила с толку. Отдельные теоретики... стали задаваться вопросом: а не был ли прав Платон в своем объективном идеализме? В самом деле: разрабатывается некий математический аппарат, а затем оказывается, что физическая реальность подчиняется его выводам и законам", — пишет в последнем августовском номере газеты "Правда" за 1984 год член-корреспондент АН СССР Ю. А. Жданов.
"Не заданная изначально приложимость законов математики к физическому миру" сбивала с толку не единожды и в прошлом, и не только философов платоновского плана, но и многих выдающихся и даже великих математиков — кстати, высказывания некоторых из них рассыпаны по страницам этой книги.
Легендарная надпись на вратах Академии, основанной Платоном почти две с половиной тысячи лет назад, гласила: "Негеометр да не войдет!". Казалось бы, какое право было у Платона на такие слова: что существенного сам он сделал для геометрии?
Но дело вовсе не в том, что Платон дал геометрии, а в том, что геометрия дала Платону, чем была она для его учения, послужившего основой философской системы объективного идеализма. Чтобы воочию увидеть зарождение и обоснование темы, отраженной в надвратной надписи, стоит лишь прочитать платоновский диалог "Менон". Ключевая сцена его — "доказательство" того, что знание возникает в нас в результате не научения, а припоминания. Из этого следует центральный пункт платонизма: существует мир идей, находясь в котором до своего воплощения, душа приобрела свои знания. К этому основному выводу своего диалога Платон подводит с помощью геометрического доказательства. Он демонстрирует, что знания о геометрических фигурах не приобретаются, а имеются в человеке в готовом виде, и их нужно только умело извлечь.
Таким образом, первоначальной платоновской идеей была математическая идея. Поэтому нет резона удивляться надвратной надписи. Не знающий геометрии не поймет, что такое геометрическая идея, а значит, для него останется пустым звуком и понятие идеи вообще.
Обычные нематематические понятия — это как бы тени, отголоски реальных предметов, воспринимаемые нашими органами чувств. Идея сосны в нашем сознании гораздо бледнее, расплывчатее, призрачнее, чем живой образ сосны, которую мы непосредственно созерцаем. Поэтому если ограничиваться только такими идеями, то каждому ясно, что они "привязаны" к вещам, зависят от них и, не будь вещей, не было бы соответствующих идей.
Но возьмем понятие треугольника. Математический треугольник в некотором смысле обладает более четкими свойствами, чем любой конкретный треугольник, сделанный из дерева, металла и т. д. Скажем, сумма углов математического треугольника всегда точно равна 180 градусам, чего нельзя сказать про вещественный треугольник, даже про тот, который мы с помощью карандаша и линейки сверхаккуратно нарисуем на бумаге. И в первую очередь потому, что мы не в состоянии с идеальной точностью измерить углы такого треугольника — этого нам не позволит ни сам объект измерения, ни приборы и способы измерений, имеющиеся в нашем распоряжении, отсюда и можно сделать умозрительный вывод об изначальной незаданности геометрических величин и фигур, то есть прийти к выводу о "примате" математического треугольника над материальными, которые лишь стремятся достигнуть свойств первого, но из-за сопротивления материи не могут сделать этого.
Платон обладал свойственной всем великим мыслителям жаждой цельности и последовательности, а поэтому, признав "самостоятельность жизни" математических идей, он распространил это признание на все идеи вообще.
Идеалистическую традицию в философии В. И. Ленин называл "линией Платона". Как видно из цитированных слов Ю. А. Жданова, ее существованию в наше время способствуют в какой-то мере и те из математиков, кто проявляет определенную растерянность в понимании и сущности математических объектов. Им можно было бы напомнить хорошо известное высказывание Ф. Энгельса: "Понятие числа и фигуры взяты не откуда-нибудь, а только из действительного мира. Десять пальцев, на которых люди учились считать, т. е. производить первую арифметическую операцию, представляют собой все, что угодно, только не продукт свободного творческого разума. Чтобы считать, надо иметь не только предметы, подлежащие . счету, но обладать уже и способностью отвлекаться при рассмотрении этих предметов от всех прочих свойств кроме числа, а эта способность есть результат долгого, опирающегося на опыт исторического развития... Чистая математика имеет своим объектом пространственные формы и количественные отношения действенного мира, стало быть весьма реальный материал...".
