Гёдель, Эшер, Бах: эта бесконечная гирлянда - [32]

Это звучит нелепо, так как здесь имеется в виду, что мы согласны ждать ответа до скончания веков. Таким образом, мы опять подошли к вопросу о том, что может считаться «проверкой». Прежде всего, нам необходима гарантия, что мы получим ответ за ограниченный промежуток времени. Такая проверка теоремности, которая завершается в конечный отрезок времени, называется алгоритмом разрешения для данной формальной системы.

Когда у вас имеется алгоритм разрешения, все теоремы системы приобретают конкретную характеристику. С первого взгляда может показаться, что правила и аксиомы формальной системы сами по себе характеризуют ее теоремы не менее полно, чем алгоритм разрешения; однако проблема здесь заключается в слове «характеризуют». Безусловно, как правила вывода, так и аксиомы системы MIU косвенно характеризуют строчки, являющиеся теоремами; еще более косвенно они характеризуют строчки, теоремами не являющиеся. Однако косвенная характеристика часто недостаточна. Если кто-нибудь утверждает, что он имеет в своем распоряжении характеристику всех теорем, но при этом тратит бесконечное время, чтобы установить, что данная строчка не является теоремой, вы, скорее всего, подумаете, что в его характеристике чего-то не хватает — она недостаточно конкретна. Именно поэтому так важно установить, есть ли в данной системе алгоритм разрешения. Положительный ответ будет означать, что вы всегда можете проверить, является ли данная строчка теоремой; при этом, какой бы длинной проверка ни была, она непременно придет к концу. В принципе, проверка — такой же простой, механический, конечный и верный процесс, как установление того, что первая буква строчки — M. Алгоритм разрешения — это «лакмусовая бумажка» для установления теоремности!

Кстати, одним из требований формальной системы является наличие алгоритма разрешения для аксиом: каждая формальная система должна иметь свою Лакмусовую бумажку для определения аксиомности. Таким образом, у нас не будет проблем по крайней мере в начале работы. Разница между множеством аксиом и множеством теорем в том, что первые всегда имеют алгоритм разрешения, в то время как последние могут его и не иметь.

Уверен, что вы согласитесь, что, когда вы начали работать с системой MIU, вам пришлось столкнуться именно с этой проблемой. Вам была известна единственная аксиома системы и простые правила вывода, косвенно характеризующие теоремы — и все же было неясно, каковы последствия этой характеристики. В частности, было совершенно непонятно, является ли MU теоремой.

Рис. 12. М. К. Эшер. «Воздушный замок» (гравюра на дереве), 1928.

Двухголосная инвенция

или Что Черепаха сказала Ахиллу (записано Льюисом Кэрроллом)[8]

Ахилл перегнал Черепаху и с комфортом уселся отдыхать на ее широкой спине.

«Так вам все же удалось добежать до финиша?» — сказала Черепаха. «Несмотря на то, что дистанция состояла из бесконечного ряда отрезков? Я-то думала, какой-то умник доказал, что это невозможно сделать?»

«Это ВОЗМОЖНО сделать», — сказал Ахилл: «И я это СДЕЛАЛ! Solvitur ambulando. Видите ли, дистанции постоянно УМЕНЬШАЛИСЬ…»

«А если бы они постоянно УВЕЛИЧИВАЛИСЬ?» — перебила Черепаха, — «Что тогда?»

«Тогда бы меня здесь еще не было,» — скромно ответил Ахилл, — «А Вы уже успели бы обежать несколько раз вокруг света.»

«Вы весьма великодушны, Ахилл. Вы меня просто подавили… я хочу сказать, придавили, поскольку вы нешуточный тяжеловес. А теперь, не угодно ли вам послушать про такую беговую дорожку, о которой большинство людей воображают, что могут преодолеть ее в два-три шага, когда на самом деле она состоит из бесконечного числа расстояний, где каждое последующее больше предыдущего?»

«С превеликим удовольствием,» — ответствовал греческий воин, доставая из шлема (в те дни мало кто из греческих воинов мог похвастаться карманами) огромный блокнот с карандашом. «Приступайте к своему рассказу, да говорите, пожалуйста, помедленнее — ведь стенография еще не изобретена!»

«Этот прекрасный Первый Постулат Эвклида…» — пробормотала мечтательно Черепаха, — «вы восхищаетесь Эвклидом?»

«Страстно! Постольку, конечно, поскольку можно восхищаться трудом, который будет опубликован лишь через несколько столетий…»

«Давайте, в таком случае, рассмотрим первые два пункта его доводов, и выводы, которые из них следуют. Будьте так любезны, запишите их к себе в блокнот — для удобства обозначим их А, В и Z:

(A) Вещи, равные одному и тому же, равны между собой.

(B) Две стороны этого треугольника суть вещи, равные одному и тому же.

(Z) Две стороны этого треугольника равны между собой.

Читатели Эвклида согласятся, я думаю, что Z логически следует из А и В, так что тот, кто согласен с истинностью А и В, ДОЛЖЕН считать истинным и Z?»

«Несомненно! Уж с ЭТИМ-то легко согласится любой старшеклассник — как только старшие классы будут изобретены, каких-нибудь пару тысяч лет спустя.»

«И если какой-нибудь читатель не принимает А и В за истинные, он, тем не менее, должен согласиться с тем, что ВЗЯТАЯ ЦЕЛИКОМ, эта последовательность имеет смысл?»

«Без сомнения, такого читателя можно вообразить. Он мог бы сказать: „Я принимаю за истинное Гипотетическое Утверждение, что ЕСЛИ А и В истинны, то Z должно быть тоже истинно.“ Такой читатель поступил бы мудро, если бы он оставил Эвклида и занялся футболом».