Фрактальная геометрия природы - [38]

.

Количество ошибок между моментами времени 0 и R (которое мы обозначим черезM(R)) выдерживает ритм, так как учитываются только те моменты, в которые происходит что-то важное. Хороший пример фрактального времени.

Если сигнал начинается в момент времени t=0 (а мы рассматриваем только этот случай), величина M(R) ведет себя так же, как в случае кривой Коха. Пока R остается меньше 0, количество ошибок удваивается всякий раз, когда R увеличивается в 3 раза. В результате имеем M(R)∝R^D.

Это выражение похоже на стандартное выражение для массы диска или шара радиуса R в D-мерном евклидовом пространстве. Оно также идентично выражению, полученному в главе 6 для кривой Коха.

В качестве вывода можно заметить, что среднее количество ошибок на единицу длины приблизительно пропорционально R^D−1 при условии, что R находится в интервале между внутренним и внешним порогами. При конечном Ω уменьшение среднего количества ошибок продолжается до окончательной величины Ω^D−1 которая достигается при R=Ω. После этого их плотность остается более или менее постоянной. При бесконечном Ω среднее количество ошибок уменьшается в конечном счете до нуля. Наконец, эмпирические данные часто предполагают, что величина Ω конечна и очень велика, однако не позволяют определить ее со сколько-нибудь приемлемой точностью. В этом случае среднее количество имеет некоторый нижний предел, который не обращается в нуль, но его неопределенность лишает его какого бы то ни было практического смысла.

КОНЦЕВЫЕ ТОЧКИ ТРЕМ И ИХ ПРЕДЕЛЫ

< Наиболее заметные члены множества C, концевые точки трем, вовсе не исчерпывают всего множества; скажем больше, они составляют лишь малую его часть. Физическую значимость других точек мы обсудим в главе 19. ►

ИСТИННАЯ ПРИРОДА КАНТОРОВОЙ ПЫЛИ

Читателю, который продержался до этого места и/или/ наслышан об активно сейчас обсуждаемых в научной литературе чертовых лестницах (см. пояснение к рис. 125), возможно, будет сложно поверить в то, что, когда я начал работу над этой темой в 1962 г., все вокруг были единодушны в том, что канторова пыль по меньшей мере столь же чудовищна, как кривые Коха и Пеано.

Каждый уважающий себя физик автоматически «выключался» при одном только упоминании имени Кантора, порывался убежать за тридевять земель от всякого, заявляющего о научной ценности множества C, и всех желающих слушать с готовностью уверял в том, что все подобные заявления были приняты, рассмотрены и найдены беспочвенными. Поддержали меня в то время только предположения С. Улама (совершенно завораживающие, несмотря на отсутствие должной проработки и неприятие научной общественностью) относительно возможной роли канторовых множеств при изучении гравитационного равновесия в звездных скоплениях (см. [570]).

Чтобы опубликовать работу о канторовой пыли, мне пришлось убрать из нее всякое упоминание имени Кантора!

Однако случилось так, что Природа сама привела нас к множеству C. В главе 19 мы поговорим еще об одной, совершенно иной, физической роли для C. Все это призвано подчеркнуть, что истинная природа канторовой пыли весьма разнообразна.

Несомненно, в большинстве случаев само множество C представляет собой весьма грубую модель, нуждающуюся в многочисленных уточнениях. И все же я настаиваю, что те самые свойства, благодаря которым многие считают канторовы дисконтинуумы патологией, незаменимы при моделировании перемежаемости и должны быть сохранены в последующих, более реалистичных, заменителях этих множеств.

Рис. 120 и 121. КАНТОРОВЫ ТРОИЧНЫЕ ГРЕБЕНЬ И БРИКЕТ (РАЗМЕРНОСТЬ ГОРИЗОНТАЛЬНОГО СЕЧЕНИЯ D=ln2/ln3=0,6309). КОЛЬЦА САТУРНА. КАНТОРОВЫ ЗАНАВЕСЫ

Инициатором для канторовой пыли служит интервал [0, 1], а генератор имеет следующий вид:

Рис. 120. Канторову пыль необычайно трудно изобразить на рисунке, так как она настолько тонка и разрежена, что практически невидима. Для получения хоть какого-нибудь представления о ее форме, утолщим исходный интервал и назовем результат канторовым гребнем. < Строго говоря, у нас получится декартово произведение канторовой пыли длины 1 на отрезок длины 0,03. ►

Створаживание. Построение канторова гребня описывается процессом, который я назвал створаживанием. Сначала изобразим стержень круглого сечения (в проекции получится прямоугольник с соотношением «высота/длина», равным 0,03). Удобнее всего представить, что материал, из которого изготовлен стержень, имеет очень малую плотность. Затем материал стержня начинает «створаживаться», смещаясь из средней трети стержня к его крайним третям, причем положение последних остается при этом неизменным. При дальнейшем створаживании вещество уходит из средних третей каждой из крайних третей уже в их собственные крайние трети и так далее до бесконечности. В пределе мы получим бесконечно большое количество бесконечно тонких пластин бесконечно большой плотности. Эти пластины распределены вдоль прямой весьма особенным образом, обусловленным производящим процессом. На рисунке створаживание остановлено на этапе, соответствующем предельному разрешению как типографского пресса, так и человеческого глаза, — последняя строка неотличима от предпоследней; каждый из элементов последней строки выглядит просто как темная линия, тогда как на самом деле представляет собой две тонкие пластины, разделенные пустым промежутком.