Флатландия. Сферландия - [119]

Реальная, физическая, возможность и возможность математическая не всегда совпадают. Правильное математическое утверждение нередко может не допускать физическую интерпретацию. Например, так произошло с пятым постулатом Евклида. Утверждение становится возможным с математической точки зрения, если оно непротиворечиво и если оно не противоречит другим допущениям данной теории. Отец геометрии Евклид утверждал в своем пятом постулате, что через данную точку можно провести лишь одну прямую, параллельную некоторой заданной прямой. В первой половине прошлого века русский математик Лобачевский усомнился в правильности постулата Евклида. Многократные попытки доказать этот постулат, рассуждал Лобачевский, неизменно оканчивались неудачей, поэтому можно предположить, что постулат неверен. Будем считать, что через данную точку можно провести не одну, а но крайней мере две разные прямые, не пересекающие данной прямой. Пользуясь чисто математическими рассуждениями, Лобачевский построил целую геометрию, основанную на своей новой аксиоме. Сама по себе эта геометрия абсолютно непротиворечива и поэтому математически возможна. Однако евклидова геометрия проще, привычнее и подтверждается даже самыми точными измерениями. Мы по-прежнему продолжаем пользоваться ею во всех измерениях и расчетах, так как, насколько можно судить по эмпирическим данным, евклидова геометрия правильна.

Наш опыт учит нас, что пространство трехмерно, однако утверждение о трехмерности пространства нельзя доказать абсолютно строго. Его следует принять за аксиому. Если бы какой-нибудь новый Лобачевский потребовал бы у нас подтверждений правильности нашей аксиомы, то мы не могли бы привести никаких убедительных доказательств. Новоявленный преобразователь геометрии мог бы усомниться в трехмерности пространства и предположить, что пространство четырехмерно. Приняв допущение об истинности новой аксиомы, он смог бы путем дедуктивных рассуждений построить целую геометрию. Новый Лобачевский вывел бы формулы для площади треугольников, объемов тел или для направления касательной к кривой. Пространство четырех измерений математически возможно, поскольку все утверждения и умозаключения относительно его внутренне непротиворечивы и согласуются с исходными аксиомами, однако никакие рассуждения не могут доказать, что четырехмерное пространство действительно существует, так же как Лобачевский не мог бы доказать, что кому-нибудь удастся провести через точку по крайней мере две прямые, не пересекающие третьей.

При рассмотрении уравнений с двумя переменными мы можем, не прибегая к графикам, установить многие свойства кривых, соответствующих этим уравнениям. Производя над алгебраическим уравнением различные действия, математический анализ позволяет вычислять длину любого отрезка кривой, устанавливать направление касательной к кривой в любой точке или находить точки пересечения двух кривых. Метод изучения свойств четырехмерного пространства во многом аналогичен описанным выше методам изучения свойств двумерных и трехмерных пространств. Мы знаем, что любое уравнение с четырьмя переменными соответствует некоторой конфигурации в пространстве четырех измерений. Применяя к уравнению методы аналитической геометрии и математического анализа, мы можем определить свойства интересующей нас плоской фигуры, трехмерного тела или четырехмерного гипертела, описываемых данным уравнением. Для того чтобы изучить свойства четырехмерных тел, нам вовсе не нужно строить их. Так же как мы изучали свойства кривых и поверхностей по их уравнениям, мы можем определить свойства конфигурации, описываемой уравнениями с четырьмя переменными.

Некоторые свойства четырехмерной геометрии настолько своеобразны и неповторимы, что кажутся непостижимыми. Например, полую гибкую сферу в пространстве четырех измерений можно было бы вывернуть наизнанку, не разрывая и не растягивая ее поверхность. Если какое-нибудь тело могло бы двигаться в пространстве четырех измерений, то его нельзя было бы удержать четырьмя стенами комнаты и, пройдя ничтожный отрезок в неведомом нам четвертом измерении, такой предмет легко становился бы невидимым. В пространстве четырех измерений предмет можно вращать вокруг плоскости, хотя в пространстве трех измерений предмет может вращаться лишь вокруг прямых или точек.

Подробное изучение столь необычных свойств этого гипотетического пространства, представляющее несомненный интерес, не входит в задачу настоящей статьи. Геометрические доказательства потребовали бы знания довольно тонких математических фактов, а чудес, которые мог бы совершить каждый, кто владеет тайной проникновения в четвертое измерение, хватило бы на несколько популярных статей.

Часто приходится слышать вопрос: существует ли в действительности четвертое измерение? Ответ на этот вопрос зависит от того, что мы понимаем под «существованием». Если существование означает, что мы можем составить полное представление о предмете и это представление не будет противоречить другим ранее установленным представлениям и результатам нашего опыта, то можно сказать, что четырехмерное пространство существует. С другой стороны, если под существованием понимать объективную реальность, то на приведенный выше вопрос можно ответить лишь одно: не знаем.