Флатландия. Сферландия - [109]

Две плоские фигуры (например, два треугольника), если они лежат в одной плоскости, могут частично перекрываться, но пересекаться они будут лишь в том случае, если лежат в различных плоскостях. Аналогично два объемных тела (например, два куба), если они лежат в одном и том же 3-пространстве, могут частично перекрываться, но пересекаться они будут лишь в том случае, если лежат в различных 3-пространствах. В гиперпространстве мы встречаемся со следующими возможными случаями пересечения. Гипертело и 3-пространство пересекаются, образуя трехмерное тело. Два 3-пространства пересекаются по некоторой плоскости, три 3-пространства пересекаются по прямой, четыре 3-пространства пересекаются в одной точке, 3-пространство и плоскость пересекаются по прямой, 3-пространство и прямая пересекаются в одной точке и две плоскости пересекаются в одной точке. Если пересечение находится в бесконечности, то говорят, что такие элементы параллельны. Если два 3-пространства параллельны, то все фигуры или тела в одном 3-пространстве расположены на равных расстояниях от другого 3-пространства. В случае плоскостей существуют два случая параллельности, и параллельные плоскости либо абсолютно, либо неабсолютно параллельны в зависимости от того, расположены, ли они в одном и том же или в различных 3-пространствах (или в зависимости от того, как они пересекаются в бесконечности: по прямой или лишь в точке).

На плоскости к данной прямой в данной точке можно восставить лишь один перпендикуляр. В 3-пространстве можно провести бесконечно много перпендикуляров, образующих плоскость, перпендикулярную данной прямой, а в гиперпространстве бесконечное множество плоскостей, перпендикулярных данной прямой, образуют 3-пространство, перпендикулярное данной прямой. В четырехмерном пространстве 3-пространство может также быть перпендикулярным плоскости или другому 3-пространству. Говоря о перпендикулярных плоскостях в четырехмерном пространстве, следует различать два случая: неабсолютно перпендикулярные и абсолютно перпендикулярные плоскости. Отличаются они тем, что неабсолютно перпендикулярные плоскости лежат в одном и том же 3-пространстве, а абсолютно перпендикулярные плоскости не принадлежат одному 3-пространству. В последнем случае каждая прямая, лежащая в любой из двух плоскостей, перпендикулярна каждой прямой, лежащей в другой плоскости.

Положение точки на плоскости можно задать, указав, на каком расстоянии она находится от каждой из двух перпендикулярных прямых. Положение точки в нашем пространстве мы определим, если будет известно, на каком расстоянии она находится от каждой из трех взаимно перпендикулярных плоскостей, а положение точки в гиперпространстве будет определено, если мы зададим расстояния от этой точки до каждого из четырех взаимно перпендикулярных 3-пространств. В гиперпространстве эти расстояния мы будем измерять вдоль четырех взаимно перпендикулярных прямых, которые, если разбить их на пары, образуют шесть взаимно перпендикулярных плоскостей, а если выбрать из них всеми возможными способами тройки, определяют четыре взаимно перпендикулярных 3-пространства, о которых мы упомянули выше. В нашем пространстве плоскость определяется по крайней мере тремя точками. В гиперпространстве, для того чтобы определить 3-пространство, необходимы по крайней мере четыре точки. 3-пространство можно также определить при помощи двух непересекающихся прямых или при помощи плоскости и не принадлежащей ей точки.

Так же как части нашего пространства ограничены поверхностями, плоскими или искривленными, части гиперпространства ограничены гиперповерхностями (трехмерными), то есть плоскими или искривленными 3-пространствами. Гиперпространство содержит не только бесконечно много плоских 3-пространств, аналогичных нашему пространству, но также бесконечно много искривленных 3-пространств, или гиперповерхностей различных типов. Например, гиперсфера представляет собой замкнутую гиперповерхность, все точки которой находятся на равном расстоянии от ее центра. Пять точек, не лежащих в одном и том же 3-пространстве, полностью определяют гиперсферу, подобно тому как четыре точки, не лежащие в одной и той же плоскости, полностью определяют сферу, а три точки, не лежащие на одной и той же прямой, определяют окружность. Все плоские сечения гиперсферы имеют форму окружностей, а все ее сечения 3-пространствами — форму сфер. Гиперсфера радиуса R, проходящая через наше пространство, казалась бы нам сферой, радиус которой постепенно увеличивается от 0 до R, а затем убывает от R до 0.

Рис. 1.

В то время как в нашем трехмерном пространстве существует лишь пять правильных многогранников (тел, ограниченных равными правильными многоугольниками), а именно: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр, в гиперпространстве существует шесть правильных гипертел, ограниченных равными правильными многогранниками. Перечислим их: C₅ (гипертело, ограниченное 5 тетраэдрами), C₈ (гипертело, ограниченное 8 кубами), C₁₆ (гипертело, ограниченное 16 тетраэдрами), C₂₄ (гипертело, ограниченное 24 октаэдрами),