Физика для любознательных. Том 2. Наука о Земле и Вселенной. Молекулы и энергия - [76]

²/R, создающая центростремительное ускорение v²/R (см. гл. 21). Предположим, что притяжение между Солнцем и планетой как раз и создает необходимую силу. Тогда

G∙(M∙m/d²) = m∙v²/R

и расстояние d между m и М равно радиусу орбиты R. Но скорость

v = ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ / ПЕРИОД ОБРАЩЕНИЯ = 2πR/T

где Т — время, за которое планета совершает один оборот. Тогда

G∙(M∙m/R²) = [(2πR/T⁾²/R]∙m; G∙(M∙m/R²) = 4π²m∙R²/T²R

Чтобы получить третий закон Кеплера, нужно перенести все R и T в одну сторону уравнения, а все остальные величины — в другую:

R³/T² = G∙M/4π²

Если перейти теперь к другой планете, с другим радиусом орбиты R' и периодом обращения Т', то новое отношение (R')³/(T')² будет опять равно G∙M/4π²; эта величина будет одинаковой для всех планет, так как G — универсальная постоянная, а масса М — одна и та же для всех планет, вращающихся вокруг Солнца. Таким образом, величина R³/T² будет одной и той же для всех планет в согласии с третьим законом Кеплера. Для других систем, например для спутников Юпитера, величина М будет другой (в этом случае М — масса Юпитера), a R³/T² будет иметь другое значение, одинаковое для всех спутников.

Масса планеты m сокращается. Несколько планет с различными массами могли выдвигаться по одной и той же орбите. Вы могли бы об этом догадаться — ведь это знаменитый эксперимент, но в космическом масштабе.

Если закон убывания силы тяжести отличается от закона обратных квадратов, то отношение R³/T² не будет одним и тем же для всех планет. Например, если использовать закон обратной пропорциональности кубу расстояния, то для всех планет постоянной будет величина R⁴/T²; в этом случае величины R³/T² будут пропорциональны 1/R и для разных планет будут разными. В действительности, как установил Кеплер, эти величины одни и те же. Это означает, что справедлив закон обратных квадратов.

Дифференциальное исчисление позволяет получить третий закон и для эллиптических орбит, но в этом случае R — средняя величина между наибольшим и наименьшим расстоянием планеты от Солнца.

Второй закон Кеплера

Приведем приближенные вычисления, выполненные Ньютоном. Будем основываться на втором законе Ньютона: изменение количества движения равно F∙Δt. Следовательно, изменение mv — вектор, направленный по линии действия силы F и пропорциональный ее величине.

Фиг. 153. Свободное движение планеты.

_{а — планета Р движется прямолинейно о постоянной скоростью, за равные промежутки времени радиус-вектор описывает равные площади; б— свойства треугольников, которыми мы здесь пользуемся.}

Вначале предположим, что планета движется свободно, т. е. на нее не действуют силы. Мы можем провести радиусы, соединяющие планету с Солнцем, лишенным гравитации (фиг. 153). Планета Р будет двигаться с постоянной скоростью по прямой линии AF (первый закон Ньютона). Обозначим расстояния, пройденные планетой за одинаковые интервалы времени: АВ, ВС, CD и т. д. Так как скорость постоянна, то AB = BC = CD и т. д.

Рассмотрим площади, описываемые радиусом SP в процессе движения. Как сравнить треугольники SAB, SBC, SCD? У всех этих треугольников одинаковые высоты SM и одинаковые основания АВ, ВС, CD. Из этого следует, что площади треугольников равны. Радиус-вектор, проведенный из точки S, описывает одинаковые площади за равные интервалы времени, так что это простое движение подчиняется закону Кеплера.

Теперь предположим, что планета движется по орбите благодаря тому, что Солнце притягивает ее и сила притяжения направлена по радиусу PS. Чтобы упростить геометрическое рассмотрение, предположим, что притяжение действует только в точках А, В, С…. траектории, а остальное время планета движется свободно по прямой линии. Тогда траектория планеты будет выглядеть так, как показано на фиг. 154.

Фиг. 154. Движение планеты с «импульсным» притяжением.

_{В отсутствие притяжения в точке В планета Р двигалась бы по оси X.}

Предположим, что планета проходит отрезки АВ, ВС, CD и т. д. за одинаковые отрезки времени, а внешнее усилие возникает только в точках В, С, D и т. д. Планета движется равномерно вдоль АВ, затем в точке В испытывает мгновенное воздействие по направлению BS и резко изменяет свою скорость, начиная двигаться (уже с другой скоростью) вдоль ВС. Если исключить из рассмотрения точку В, то планета будет продолжать двигаться прямолинейно, как в рассмотренном выше простом примере! Продолжив прямую линию, отложим на ней отрезок ВХ, равный АВ. Если не учитывать притяжения в точке В, то планета пройдет расстояния АВ и ВХ за одинаковые отрезки времени, и радиус-вектор, проведенный из точки X, опишет одинаковые треугольники SAB и SBX. Но в действительности планета достигает вместо точки X положения С.

Повлияет ли это на равенство площадей? Если планета приходит в точку С, то нужно рассматривать треугольники SAB и SBC. Равны ли эти треугольники? Усилие действует в точке В по направлению к Солнцу вдоль прямой линии BS и изменяет направление движения. Это усилие придает планете добавочное количество движения, направленное по прямой BS, которое, складываясь с ее начальным количеством движения, обеспечивает движение планеты по прямой