Физика для любознательных. Том 2. Наука о Земле и Вселенной. Молекулы и энергия - [188]

предсказываем скорость пули:

т. е. немного меньше с.

Предпримем еще одну попытку превысить скорость света с. Запустим две ракеты навстречу друг другу со скоростями ³/₄с и ¹/₂с. Стоящий на земле наблюдатель ε видит своего коллегу ε' на ракете, летящей со скоростью v = (³/₄)∙с и другую ракету, летящую со скоростью u = —(¹/₂)∙с. Он думает, что ракеты должны сближаться с относительной скоростью 1¹/₄с. Однако сидящий на ракете наблюдатель ε' видит, что вторая ракета приближается к нему со скоростью

Их скорость сближения меньше с. Что бы мы ни делали, нельзя заставить материальное тело двигаться быстрее скорости света с точки зрения любого наблюдателя.

Фиг. 162.Сложение очень больших скоростей.

Фиг. 163.Две сближающиеся ракеты.

Скорость света

Для проверки нового правила сложения скоростей убедимся, что с точки зрения наблюдателей, движущихся с разными скоростями, оно дает одну и ту же скорость света. Возьмем световой сигнал, распространяющийся, согласно ε, со скоростью с. Наблюдатель ε', двигаясь со скоростью v относительно ε в том же направлении, видит, что световой сигнал распространяется со скоростью

Каждый наблюдатель получает одну и ту же скорость света с. (Удивляться здесь нечему, ибо преобразования Лоренца на это и рассчитаны.) Такой результат, несомненно, объясняет нулевой результат опыта Майкельсона-Морли-Миллера.

Энергия

Видоизменим теперь точку зрения Ньютона, чтобы привести ее в соответствие с теорией относительности. Определим импульс как mv, где m — масса движущегося тела: m = m₀/√(1 — (v²/с²)). Определим силу F как Δ(mv)/Δt, а переход потенциальной энергии в кинетическую — как работу F∙Δs. Скомбинируем их и вычислим кинетическую энергию массы m, движущейся со скоростью v. Приведем только результат:

Мы приписываем телу постоянный запас «энергии покоя», m₀c², заключенный, по-видимому, в атомных силовых полях. Добавляем ее к Е_кин и получаем полную энергию тела Е, равную m₀c² +(mc² — m₀c²) = m₀c², т. е. Е = mc².

Фиг. 164.Измерение скорости одного и того же луча света.

Это справедливо независимо от скорости, но следует помнить, что m изменяется со скоростью. При малых скоростях mc² сводится к

(Энергия покояm₀c²) + (Е_кин = ¹/₂mv²)

(См. выше рассуждения о разложении бинома).

Короткий и прямой вывод соотношения Е = mc² дан ниже.

Вывод соотношения Е = mc²

Этот краткий вывод, данный Эйнштейном, основан на экспериментальном факте, который состоял в том, что при поглощении веществом излучения с энергией Е дж ему сообщается импульс Е/с кг∙м/сек. Опыты показывают, что давление излучения на поглощающую стенку равно количеству энергии в единице объема излучения. Допустим, что пучок площадью А падает по нормали на поглощающую поверхность. За время Δt нa поглотитель падает пучок длины с∙Δt. Тогда импульс, сообщенный за время Δt, равен

ИМПУЛЬС = СИЛА Δt = = ДАВЛЕНИЕ ∙ ПЛОЩАДЬ ∙ Δt = (ЭНЕРГИЯ/ОБЪЕМ)∙ПЛОЩАДЬ∙Δt =

= (ЭНЕРГИЯ/А∙с∙Δt)∙A∙Δt = ЭНЕРГИЯ/с

Это следует также из уравнений Максвелла.

Рассмотрим один и тот же мысленный эксперимент с двух точек зрения.

A. Поместим кубик вещества на идеально гладкий стол, снабдим его дополнительной энергией Е и направим на него порцию излучения с энергией ¹/₂E справа и порцию с энергией ¹/₂E слева. Кубик поглощает излучение и приобретает энергию Е, но полное приращение импульса равно нулю — он остается в покое.

B. Как протекает это событие с точки зрения движущегося наблюдателя?

Он движется со скоростью v к северу, но, согласно принципу относительности, можно считать, что он находится в покое, а стол и все прочее движется к югу со скоростью v. По его мнению, кубик движется к югу с импульсом Mv, а обе порции излучения налетают на кубик со скоростью с под углом, определяемым v/c.

(Это напоминает аберрацию света звезд.) Каждая порция, с его точки зрения, обладает импульсом (¹/₂ Е/с) с составляющей в направлении на юг, равной (¹/₂ Е/с)∙(v/c).

Считая себя покоящимся, наблюдатель видит, что полный импульс будет Mv + 2∙(¹/₂ Е/с)∙(v/c). После того как кубик поглотил излучение, наблюдателю по-прежнему кажется, что кубик движется на юг с той же скоростью v. Поэтому мы говорим, что в варианте А кубик не приобретает никакого импульса. Выясним, какова должна быть масса m, если мы верим в сохранение импульса:

Mv + 2∙(¹/₂Е/с)∙(v/c) = (M + m)∙v

т. е. m = Е/с² или Е = mс², где m — увеличение массы, соответствующее увеличению энергии на Е.

Представление о единстве энергии и массы в соответствии с формулой Е = mс² выдержало множество успешных проверок в ядерной физике. Мы вновь вновь обнаруживаем, что часть массы элементарных частиц исчезает при ядерных расщеплениях, но при этом возникает избыток энергии — излучения в одних случаях и кинетической энергии разлетающихся осколков в других. Эта энергия уносила «недостающую» массу.

Выражение для массы m = m₀/√(1 — (v²/c²)) следует из преобразований Лоренца и закона сохранения импульса. Таким образом, Е = mс² следует из второго и третьего законов Ньютона в комбинации с преобразованиями Лоренца.

Если наблюдатель приписывает движущемуся телу массу m, импульс mv и полную энергию mс², то он обнаружит, что в любой замкнутой системе