Физика для любознательных. Том 2. Наука о Земле и Вселенной. Молекулы и энергия - [164]
S = √(N)∙L = √(v∙t/L)∙L = √(v∙t∙L)
Оценка расстояния «полупобурения» дает S, так что, зная v, можно вычислить L. Как и для других газов, v получается из измерения плотности и давления паров брома. Для тяжелых паров брома при комнатной температуре[222] это дает: v = 210 м/сек.
Пример
Предположим, что группа наблюдателей определила высоту «полупобурения» 9 см над поверхностью брома за 500 сек. Спрямленный путь молекулы брома за это же время составил (210 м/сек)∙(500 сек), а число шагов на этом пути равно (210249500)/(Средний свободный пробег L). Тогда среднее перемещение S определится так:
S = √(210∙500/L)∙L = √(200∙500∙L)
т. е.
9/100 м = √(200∙500∙L)
Следовательно,
L ~= (81/10>4)/(210∙500) ~= 770∙10>-10 м или 770 А°
Округленно средний свободный пробег молекул брома в воздухе можно считать равным 800 А°, и, по-видимому, не будет серьезной ошибкой считать таким же свободный пробег молекул воздуха в воздухе. (Если бы измерения дали в среднем 10 см вместо 9 см, то величина среднего свободного пробега составила бы 1000 А°, что подтверждает приближенный характер нашего результата.)
Таким образом, оценки для обычного воздуха показывают, что: 1) молекулы удалены друг от друга примерно на 9 диаметров; 2) средняя длина свободного пробега составляет примерно 800 А° (800∙10>-10 м).
Средний свободный пробег и давление
Удалим теперь половину молекул из сосуда с газом. Этим мы вдвое уменьшим вероятность попадания и удвоим, таким образом, средний свободный пробег. В общем случае средний свободный пробег должен изменяться обратно пропорционально числу молекул в единице объема, или обратно пропорционально давлению. При высоком вакууме в одну миллиардную атмосферу средний свободный пробег будет в миллиард раз больше, т. е. 10>9∙800∙10>-10 м, или 80 мк. Это значит, что в радиолампе молекула остаточного газа барабанит по стенкам, а другие молекулы газа редко попадаются на ее пути.
Диаметр молекулы. Соотношение πD>2L = D>3
Между средним свободным пробегом L и диаметром d существует однозначная связь: чем больше d, тем больше площадь мишени при столкновении и тем меньше длина свободного пробега. Можно показать, что πD>2L = объему, который в среднем приходится на одну молекулу в газе, т. е. D>3. Геометрическое доказательство изложено ниже. Затем мы воспользуемся этим результатом для вычисления диаметра d из L и отношения объемов D>3/d>3.
* * *
Вычисление случайных блужданий («путь пьяницы»)
Молекулы брома мечутся между молекулами, воздуха, получая удар за ударом и меняя направление после каждого из них. Насколько при этом им удается в среднем продвинуться вперед?
Образец подобного движения можно понаблюдать на примере пьяного человека, возвращающегося туманной ночью с вечеринки. Выпустив из объятий фонарный столб, он делает один шаг, затем забывает о нем и делает второй, но уже в другом направлении, забывает и о нем и делает третий шаг… и так далее — N шагов в совершенно произвольных направлениях. На какое расстояние он отдалится от спасительного фонарного столба? Он может вернуться опять к столбу или оказаться очень близко от него. Он может отойти от столба на N шагов (в том редком случае, когда все шаги устремлены в одном направлении), но это маловероятна. Его перемещение по прямой лежит между 0 и N шагами. Мы же хотим найти среднюю величину перемещения, усредненную по множеству таких продвижений, состоящих из N шагов.
Пусть человек вновь и вновь повторяет свою «прогулку» сначала. После каждой прогулки мы будем измерять его перемещение S. Усредним S по этим прогулкам. Для удобства будем искать среднее значение S>2, а затем извлечем квадратный корень, получив среднее квадратичное значение. Покажем, что это среднее должно приближаться к √N шагов (Например, если за основу берем 100 шагов, то ожидаем, что человек уйдет только на 10 шагов от начального места.) Вот доказательство в двумерном случае (трехмерный случай рассматривается так же).
Нарисуем несколько первых шагов хаотического движения. Пусть длина каждого шага равна L, а всего имеется N шагов. Воспользовавшись координатами х и у, разложим первый шаг на компоненты х>1 и у>1, второй шаг на компоненты х>2 и у>2 и т. д. Для первого шага х>1>2 + у>1>2 = L>2, аналогично и для других шагов. Компоненты х и у перемещения S будут соответственно равны
(x>1 + x>2 +… + x>N)
и
(y>1 + y>2 +… + y>N),
S>2 = (x>1 + x>2 +… + x>N)>2 + (y>1 + y>2 +… + y>N)>2 =
= х>1>2 + x>2>2 +… + 2х>1x>2 + 2х>1x>3 +… + y>1>2 + y>2>2 +… + 2y>1y>2 + 2y>1y>3 +… =
= L>2 + L>2 + НУЛЬ = N∙L>2
«Смешанные слагаемые», наподобие 2х>1x>2, при усреднении по многим блужданиям дают нуль, ибо эти слагаемые могут одинаково часто быть как положительными, так и отрицательными и иметь величину от 0 до 2L>2. То же справедливо и для «смешанных слагаемых» с у. Поэтому среднее значение S = √(N)∙L
Доказательство станет нагляднее, если применит тригонометрию и разложить каждый шаг на горизонтальную и вертикальную компоненты:
