Физика для любознательных. Том 2. Наука о Земле и Вселенной. Молекулы и энергия - [102]
Более элегантный вывод
Введение множителя >1/>3 для большинства выглядит как искусственный трюк. Вот более элегантный метод, в котором скорости молекул складываются с помощью простейших правил статистики. Предположим, что молекула 1 движется в сосуде со скоростью v>1 под углом к стенке (фиг. 7).
Фиг. 7.Другое рассмотрение движения молекул газа.
Каждая скорость v разложена на три составляющие >xv, >yv и >zv, параллельные граням сосуда. Затем по >xv>2 вычисляется давление и мы приходим к тому же результату.
Разложим вектор v>1 на три компоненты по осям х, у и z, параллельным стенкам. Тогда v>1 будет результирующей компонент скоростей >xv>1 вдоль оси х, >yv>1 вдоль оси у, a >zv>1, вдоль оси z. Поскольку оси взаимно перпендикулярны, то по теореме Пифагора
v>1>2 = >xv>1>2 +> yv>1>2 +> zv>1>2
для молекулы 2
v>2>2 = >xv>2>2 +> yv>2>2 +> zv>2>2
для молекулы 3
v>3>2 = >xv>3>2 +> yv>3>2 +> zv>3>2
…
и т. д.
v>N>2 = >xv>N>2 +> yv>N>2 +> zv>N>2
Сложим все эти равенства:
(v>1>2 + v>2>2 + v>3>2 +… + v>N>2) =
= (>xv>1>2 + >xv>2>2 + >xv>3>2 +… + >xv>N>2) +
+ (>yv>1>2 + >yv>2>2 + >yv>3>2 +… + >yv>N>2) +
+ (>zv>1>2 + >zv>2>2 + >zv>3>2 +… + >zv>N>2)
Фиг. 8.Составляющие скорости.
По теореме Пифагора v>1>2 = >xv>1>2 + >yv>1>2 + >zv>1>2
Разделив на число молекул N, получим среднее значение:
v>¯2 = >xv>¯2 +> yv>¯2 +> zv>¯2
Призовем теперь на помощь соображения симметрии и потребуем (игнорируя малые отклонения за счет гравитации), чтобы все три средних в правой части уравнения были равными; случайное движение большого числа молекул должно давать одно и то же распределение скоростей в любом направлении:
>xv>¯2 => yv>¯2 => zv>¯2
т. е.
v>¯2 = 3∙>zv>¯2
Чтобы получить давление на стенку сосуда, мы будем дальше рассуждать по аналогии с задачей 2, используя >xv — составляющую скорости молекул вдоль сосуда. (Именно эта составляющая скорости и нужна нам, ибо >yv и >zv влияют только на движение от одной боковой стенки к другой и не участвуют в передаче импульса нашим стенкам.) Поэтому вклад молекулы 1 в произведение (давление)∙(объем) будет m∙>xv>1>¯2, а вклад всех N молекул будет
m∙(>xv>1>2 + >xv>2>2 + … + >xv>N>2), или m∙N∙>xv>¯2
Но он равен m∙N∙(v>¯2/3), так что
ДАВЛЕНИЕ∙ОБЪЕМ = >1/>3 N∙m∙v>¯2
Предсказания кинетической теории газов
Рассмотрение молекулярных столкновений и законы Ньютона привели нас к выводу, что
ДАВЛЕНИЕ∙ОБЪЕМ = >1/>3 N∙m∙v>¯2
Он напоминает закон Бойля. Множитель >1/>3 постоянен; N — число молекул — тоже постоянно (если они не улетают и не распадаются); m — масса молекул — постоянна. Поэтому если средняя скорость остается постоянной, то постоянно и >1/>3 N∙m∙v>¯2, а следовательно, постоянно и p∙V, как обнаружил Бойль. Но остается ли неизменной скорость молекул? Сейчас мы не можем гарантировать это.
Но давайте на минуту забежим вперед и предположим, что молекулярное движение связано с тепловым состоянием газа и что при постоянной температуре средняя скорость молекул газа постоянна, как бы мы его ни сжимали[128]. Объяснение этого факта вы получите позднее, а сейчас примите его на веру. Сделав это, найдем:
Для газа при постоянной температуре произведение p∙V постоянно.
Более простая форма получится, если вместо объема изменять плотность: удвойте число молекул в том же сосуде, и давление удвоится.
Что это, удивительное объяснение закона Бойля? Едва ли удивительное. Мы вкладывали в него столько предположений, не упуская из виду желаемый результат, что он вряд ли может польстить нашему тщеславию. Теория, вобравшая столько предположений и предсказавшая один-единственный уже известный закон, и то при дополнительном допущении относительно постоянства температуры, вряд ли заслуживает внимания. Но наша теория — это только начало. Кроме того, она позволяет «объяснить» испарение, диффузию, внутреннее трение в газах. Она предсказывает, как ведет себя газ при сжатии, облегчает конструирование вакуумных насосов. Она приводит также к измерениям, подтверждающим законность наших предположений. Однако, прежде чем перейти к дальнейшему развитию теории, остановимся на вопросе: «на самом ли деле существуют такие штуки, как молекулы?»
Существуют ли молекулы?
«Самое страшное — это косвенные улики. Обвинитель имеет в своем распоряжении все средства для расследования. Он вскрывает факты и отбирает только те, которые, по его мнению, существенны. Но если он придет к заключению о виновности подсудимого, то для него существенными фактами будут лишь те, которые указывают на вину подсудимого. Вот почему косвенные улики — ложь. Сами по себе факты не имеют никакого смысла. Объяснение фактов — вот единственное, что принимается в расчет».
Эрл Станли Гарднер
«Дело о попугае — лжесвидетеле»
Сто лет назад молекулы казались полезным понятием. Это была плодотворная концепция, позволившая легко обнаружить закономерности у химических соединений и давшая толчок развитию простейшей теории газов. Но существуют ли молекулы на самом деле?
В те времена имелись лишь косвенные улики, которые делали эту гипотезу вероятной. Однако многие ученые были настроены скептически, а один великий химик вплоть до начала этого века даже настаивал на своем праве не верить в молекулы и атомы, хотя прямне экспериментальные доказательства появились довольно давно, примерно в 1827 г. Это было броуновское движение.
