Физика для любознательных. Том 1. Материя. Движение. Сила - [125]

Движение маятника характеризуется переменным ускорением, которое всегда направлено к среднему положению и изменяется прямо пропорционально расстоянию от этого положения.

Если s — расстояние вдоль траектории, скажем, груза маятника, а а — ускорение, то мы найдем a ~ s, или а = —k²s, где k — вещественная постоянная.

Знак минус показывает, что ускорение направлено в сторону, противоположную отклонению. (Когда груз отклонен вправо — мы считаем такие отклонения положительными, когда ускорение направлено влево, мы приписываем ему отрицательное значение.)

Фиг. 261.Разнообразные системы, совершающие простые гармонические движения.

Механика движения маятника

Чтобы показать, что для груза маятника а ~ s (при малых амплитудах), рассмотрим действующие на него силы. Сила натяжения нити направлена по радиусу и не может изменить скорость груза. Кроме этой силы, на груз действует только притяжение Земли, вес груза, направленный вертикально вниз. Разложим этот вектор на компоненты F₁ и F₂:

F₁ направленная вдоль дуги, придает грузу ускорение,

F₂ направленная вдоль радиуса, уравновешивает натяжение нити.

Из рассмотрения подобных треугольников (фиг. 262) находим

СИЛА F₁ ПРИДАЮЩАЯ УСКОРЕНИЕ / ВЕС Mg = РАССТОЯНИЕ ПО ГОРИЗОНТАЛИ х / ДЛИНА L

F₁/Mg = x/L

Следовательно,

F₁ = Mg∙x/L

и

УСКОРЕНИЕ ГРУЗА = СИЛА/МАССА = — F₁/M = (-Mg∙x/L)/M = — g∙x/L

Таким образом, мы установили, что а направлено к положению равновесия и что а ~ х, но мы не получили соотношения a ~ s вдоль траектории движения маятника. При больших отклонениях маятника его движение не является простым гармоническим движением. При малых отклонениях оно почти в точности совпадает с простым гармоническим движением, и х (горизонтальное смещение груза) почти совпадает с криволинейной дугой s (отклонением груза, измеренным вдоль его траектории).

Фиг. 262.Силы, действующие на груз маятника.

В таком случае мы можем перейти от а = —(g/L)∙x к а = —(g/L)∙s

(обе величины примерно одинаковы для маятника в данном случае), а это и есть наше определение простого гармонического движения: анаправлено к положению равновесия и а ~ смещению s.

Мы описываем это свойство выражением

а = — k²s,

где k² — постоянная.

Отсюда можно показать, что период Т дается соотношением

T = 2π/k

(Это легче всего сделать с помощью математического анализа; см. ниже. Существуют доказательства, в которых не прибегают к математическому анализу, но они ведут к цели обходным и весьма громоздким путем, см. учебники по общей физике.) Поэтому каждый раз, встречая систему, в которой действие сил приводит к соотношению а = —k²s, мы можем сразу сказать, что такая система способна совершать простое гармоническое движение с периодом 2π/k.

Простые гармонические движения и закон Гука

Теперь вернемся к замечанию, которое было сделано в задаче 1.

Предположим, имеется груз, который подвешен на пружине, подчиняющейся закону Гука. Натяжение пружины в точности уравновешивает вес груза, когда он находится в состоянии покоя или когда, совершая колебания, проходит через положение равновесия. Во всех других положениях существует небольшое натяжение (со знаком + или —), пропорциональное удлинению (по закону Гука); оно придает грузу ускорение. Ускорение всегда направлено к положению равновесия и меняется прямо пропорционально смещению от этого положения (по закону Гука). Таким образом, мы имеем соотношение а = —k²s, которое как раз и соответствует движению, называемому нами простым гармоническим колебанием.

Период колебания 2π/k можно вычислить, зная массу груза М и «жесткость» пружины К, равную отношению (сила)/(удлинение); это отношение представляет собой постоянную, определяющую наклон прямой, которая выражает закон Гука. Добавочная сила, соответствующая добавочному удлинению s, равна Ks, а сообщаемое ею ускорение равно — ks/M. Следовательно, k² равно K/M, и Т дается выражением

Т = 2π∙√(ЖЕСТКОСТЬ» ПРУЖИНЫ К / МАССА М).

Это соотношение позволяет вычислить период простого гармонического колебания. Кроме того, у нас появляется превосходный способ оценить жесткость пружины по измеренному периоду колебаний. Мы пользуемся им, измеряя g с помощью маятника: в этом случае сила земного притяжения дает эквивалентную «жесткость пружины», равную Mg/L. В опыте Кавендиша, который позволяет измерить гравитационную постоянную G (см. гл. 23[158]), проволока слишком слаба для прямого измерения ее сопротивления закручиванию, поэтому измеряют период крутильных колебаний проволоки, представляющих собой простое гармоническое движение, и вычисляют сопротивление закручиванию.

Простое гармоническое движение — широко распространенный вид движения

Итак, мы можем сказать, что простые гармонические колебания совершает любая система, в которой развивается возвращающая сила, пропорциональная смещению от положения равновесия:

— любой маятник (при малых отклонениях);

— любая система, подчиняющаяся закону Гука (например, пружина, к которой прикреплен груз; балка, подвергаемая изгибу; спиральная пружина, т. е, лента, свернутая в плоскую спираль, которая также подвергается изгибу, и т. д.);

— атомы, удерживаемые в молекуле упругими электрическими силами (задачи об инерционных весах, разбиравшиеся в