Физика для любознательных. Том 1. Материя. Движение. Сила - [116]

Фиг. 232.Идеальная (не имеющая вязкости) жидкость течет вдоль линии тока.

_{Скорость всех частей жидкости одинакова.}

В реальной жидкости течение быстрее всего в центре, на оси трубки, в соседних слоях оно медленнее, а по мере удаления от центра еще более замедляется; на стенках трубки жидкость остается в покое. Распределение скоростей при ламинарном течении показано на фиг.233. (При более быстром течении с пограничным слоем на стенках поток также имеет наибольшую скорость в центре, но скорость по сечению трубки почти одинакова и резко падает только в пограничном слое.) Исследуйте зависимость между давлением и скоростью в трубке с водой.

Фиг. 233.Ламинарное течение.

_{а — ламинарное течение реальной жидкости в трубке. Стрелки показывают скорость течения в различных участках; б — жидкость, медленно текущую в трубке, «метят» с помощью мгновенно нанесенной поперек потока полоски красителя. Передвижение краски показывает скорости на различных участках.}

ДЕМОНСТРАЦИОННЫЕ ОПЫТЫ

Опыт 5. Течение воды по узким трубкам (фиг. 234). Вода, текущая по трубкам, всегда испытывает некоторое сопротивление, обусловленное внутренним трением жидкости.

Фиг. 234.Медленное течение воды через узкую однородную трубку.

_{а — при удвоении давления скорость течения удваивается. Измерительные трубки, присоединенные к боковым отверстиям, показывают давление текущей воды на стенки трубки;}

_{б — для измерения давления годится любое устройство (сверху вниз): вертикальная трубка; U-образные трубки со ртутью; внизу показан манометр, содержащий упругую металлическую трубку, соединенную со стрелкой (манометр Бурдона);}

_{в — если такое же давление приложить к трубке удвоенного диаметра, скорость течения увеличится в 16 раз.}

Чтобы вязкость не помешала нашему исследованию парадоксов, рассмотрим сначала ее влияние. Мы используем это рассмотрение впоследствии для иллюстрации движения электрического тока (гл. 32[143]), а перед этим дадим молекулярное объяснение внутреннего трения газов (гл. 30[144]).

В опыте, показанном на фиг. 234, применена очень узкая трубка, капилляр, по которой под действием разности давлений на концах трубки медленно (ламинарно) течет жидкость. Устройства для измерения давления обнаруживают постепенный спад давления вдоль трубки.

Хотя жидкость движется под действием перепада давлений, она не ускоряется (скорость потока вдоль трубки одинакова), поэтому должны существовать иные силы, чтобы суммарная сила, действующая на любую часть жидкости, была равна нулю.

Эти силы создаются внутренним трением жидкости. Стенки трубки вследствие внутреннего трения тормозят движение ближайшего к ним слоя жидкости, и это торможение передается от одного слоя к другому по всему потоку жидкости от стенок трубки до ее оси, где течение происходит быстрее всего.

Чтобы увеличить скорость установившегося потока в трубке, надо изменить давление. Для поддержания более быстрого течения потребуется большее давление. Действительно, опыт показывает, что для данной трубки скорость течения прямо пропорциональна разности давлений между концами трубки (до тех пор, пока при быстром течении не появится турбулентность). Это общий закон, обусловленный влиянием внутреннего трения на ламинарный поток жидкости:

v ~ (р₁ — р₂).

При переходе к более широкой трубке распределение линий тока и внутреннее трение в жидкости сохраняются, но роль трения становится менее заметна. В этом случае медленный слой жидкости около стенок трубки составляет меньшую долю от общей массы движущейся жидкости. Поэтому для получения той же скорости на осевой линии тока требуется значительно меньшая разность давлений. А при той же разности давлений в более широкой трубке возникает более быстрое течение. Опыт дает следующие соотношения для медленного ламинарного потока, движущегося по различным длинным трубкам под действием разности давлений на их концах:

СКОРОСТЬ, усредненная по всем линиям тока ~ РАЗНОСТЬ ДАВЛЕНИЙ МЕЖДУ КОНЦАМИ ТРУБКИ / ДЛИНА ТРУБКИ,

СКОРОСТЬ, усредненная по всем линиям тока в трубке ~ (ДИАМЕТР ТРУБКИ)².

Умножение средней скорости на площадь поперечного сечения трубки даст объем жидкости, протекающий через любое сечение в единицу времени, потому что

СКОРОСТЬ = ДЛИНА, ПРОЙДЕННАЯ В ЕДИНИЦУ ВРЕМЕНИ

и

СКОРОСТЬ∙ПЛОЩАДЬ = (ДЛИНА∙ПЛОЩАДЬ)/ВРЕМЯ = ОБЪЕМ/ВРЕМЯ

Таким образом, для медленного ламинарного потока в трубках

ОБЪЕМ, протекающий в секунду ~ РАЗНОСТЬ ДАВЛЕНИЙ МЕЖДУ КОНЦАМИ ТРУБКИ/ДЛИНА ТРУБКИ,

и

ОБЪЕМ, протекающий в секунду ~ (ДИАМЕТР ТРУБКИ)⁴.

Обратите внимание на сильное влияние диаметра трубки.

Подумайте о различии между течением крови в тонких сосудах и в артериях. В очень тонких капиллярах кровяные тельца могут фактически закупорить проток, уменьшая течение даже еще больше, чем предсказывает написанная выше простая формула.

Задача 1

С помощью диаграммы фиг. 234 можно дать простое графическое изображение отношения (разность давлений):(длина). Можете ли вы предложить термин для обозначения этого отношения?

Задача 2

Примем течение нефти в трубопроводе за ламинарный поток и предположим, что к нему применимы приведенные выше соотношения. Как должно влиять удвоение диаметра трубы: