Физические тела - [42]
Так же как и для момента силы, для момента импульса можно написать и другую формулу. Соединим радиусом местоположение тела с точкой, момент по отношению к которой нас интересует (рис. 5.13).
Построим также проекцию скорости на направление, перпендикулярное к радиусу. Из подобных треугольников, которые построены на рисунке, следует: v/
При свободном движении, как мы только что сказали, момент импульса остается неизменным. Ну, а если на тело действует сила? Расчет показывает, что изменение момента импульса за одну секунду равно моменту силы.
Полученный закон без труда распространяется и на систему тел. Если сложить изменения в единицу времени моментов импульсов всех тел, входящих в систему, то сумма их окажется равной сумме моментов сил, действующих на тела. Значит, для группы тел справедливо положение: изменение суммарного момента импульса за единицу времени равно сумме моментов всех сил.
Если связать два камня веревкой и с силой бросить один из них, то второй камень полетит вдогонку за первым на натянутой веревке. Один камень будет обгонять второй, перемещение вперед будет сопровождаться вращением. Забудем про поле тяготения — пусть бросок произведен в межзвездном пространстве.
Силы, действующие на камни, равны друг другу и направлены навстречу вдоль веревки (это ведь силы действия и противодействия). Но тогда и плечи обоих сил по отношению к любой точке будут одинаковы. Равные плечи и равные, но противоположные по направлению силы дают равные и противоположные по знаку моменты сил.
Суммарный момент сил будет равен нулю. Но отсюда следует, что будет равно нулю и изменение момента импульса, т. е. что момент импульса такой системы остается постоянным.
Веревка, связывающая камни, понадобилась нам для наглядности. Закон сохранения момента импульса справедлив для любой пары взаимодействующих тел, какую бы природу ни имело это взаимодействие.
Да и не только для пары. Если изучается замкнутая система тел, то силы, действующие между телами, всегда можно разбить на равное количество сил действия и противодействия, моменты которых будут попарно уничтожаться.
Закон сохранения суммарного момента импульса универсален, верен для любой замкнутой системы тел.
Если тело вращается вокруг оси, то его момент импульса равен
N = m∙v∙r
где m — масса тела, v — скорость и r — расстояние тела от оси. Выражая скорость через число оборотов в секунду π, имеем:
v = 2π∙n∙r и N = 2π∙m∙n∙r>2,
т. е. момент импульса тела пропорционален квадрату расстояния от оси.
Сядьте на табуретку с вращающимся сидением. Возьмите в руки тяжелые гири, широко расставьте руки и попросите кого-нибудь привести вас в медленное вращение. Теперь быстрым движением прижмите руки к груди — вы неожиданно начнете вращаться быстрее.
Руки в стороны — движение замедлится, руки к груди — движение ускорится. Пока из-за трения табуретка не перестанет вращаться, вы успеете несколько раз изменить свою скорость вращения.
Отчего это происходит?
Момент импульса при неизменном количестве оборотов в случае приближения гирь к оси упал бы. Для того чтобы «скомпенсировать» это уменьшение, и увеличивается скорость вращения.
Успешно используют закон сохранения момента импульса акробаты. Как акробат выполняет «сальто» — переворачивание в воздухе? Прежде всего — толчок от пружинящего настила или от руки партнера. При толчке тело наклонено вперед, и вес вместе с силой толчка создают мгновенный момент силы. Сила толчка создает движение вперед, а момент силы обусловливает вращение. Однако это вращение медленное, оно но произведет впечатления на зрителя. Акробат поджимает колени. «Собирая свое тело» поближе к оси вращения, акробат значительно увеличивает скорость вращения и быстро переворачивается. Такова механика «сальто».
На этом же принципе основаны движения балерины, совершающей быстрые, следующие один за другим повороты. Обычно начальный момент импульса придает балерине ее партнер. В этот момент корпус танцовщицы наклонен; начинается медленное вращение, затем изящное и быстрое движение — балерина выпрямляется. Теперь все точки тела находятся ближе к оси вращения, и сохранение момента импульса приводит к резкому увеличению скорости.
До сих пор речь шла о величине момента импульса. Но момент импульса является вектором.
Рассмотрим вращение точки по отношению к какому-либо «центру». На рис. 5.14 изображены два близких положения точки.
Интересующее нас движение характеризуется моментом импульса и плоскостью, в которой оно происходит. Плоскость движения заштрихована на рисунке — это площадь, пройденная радиусом, приведенным из «центра» к движущейся точке.
Можно объединить сведения о направлении плоскости движения и о моменте импульса. Для этого служит вектор момента импульса, направленный вдоль нормали к плоскости движения и равный по величине абсолютному значению момента импульса. Однако это еще не все — нужно учесть направление движения в плоскости: ведь тело может поворачиваться около центра как по часовой стрелке, так и против нее.
