Философские идеи Людвига Витгенштейна - [18]

= 0, является единица. Тем не менее в силу основной теоремы алгебры уравнение пятой степени должно иметь ровно пять корней. Поэтому в данном случае, в практике ("языковой игре") применения этой теоремы, одна единица считается пятью разными, но совпадающими корнями! И этот особый тип практики счета не осознается ни математиками, ни философами математики; обучающиеся алгебре получают образцы такой практики попутно, в ходе обучения их решению уравнений, и далее следуют этому правилу, - говоря словами Витгенштейна, - слепо.

Идея, что в аксиомах Пеано содержится вся арифметика и что они детерминируют все потенциально бесконечное множество случаев следования арифметическим правилам, опирается на два невысказанных убеждения, в равной степени чуждых Витгенштейну: 1) числа суть самостоятельные идеальные объекты. Они сами по себе обладают определенными свойствами, стоят между собой в известных отношениях; 2) все виды арифметики, от античной до современной, от преподаваемой в начальной школе до той, которая является предметом исследований профессоров математических факультетов университетов, относятся к этим самостоятельным идеальным объектам, и потому составляют иерархию, основанную на степени глубины и полноты проникновения в их свойства.

Витгенштейновская философия позволяет говорить о семействе арифметических "языковых игр". В каждой - своя практика следования арифметическим правилам. Они связаны отношениями "семейного сходства", - кроме всего прочего, и потому, что имеют общих предков, связаны отношениями происхождения. Они равноправны и равноценны. Ни одна не является "более глубокой", чем другая. Идея того, что научные виды деятельности более глубоки, ценны, замечательны, чем повседневные "языковые игры", что именно первые, а не последние должны прежде всего интересовать философов, - подобная идея глубоко чужда Витгенштейну, хотя именно она составляет сердцевину европейской культуры и европейской философской традиции. Недаром Витгенштейн писал в наброске предисловия к предполагаемой книге, что дух его работы глубоко чужд духу современной цивилизации и скорее всего не будет понят учеными[70]. Эта же его установка присутствует и в рассуждениях о "следовании правилу". Так, обсуждая вопрос об ученике, который следует арифметическому правилу с какими-то странными ошибками, он замечает, что одна из возможных реакций состоит в том, что такой способ следования правилу будет признан допустимой формой. На первый взгляд, это может показаться абсурдом. Математическое правило (если, конечно, оно сформулировано строго и точно) определяет, как ему надо следовать. И никогда неправильное следование не может стать допустимым: что неправильно, то неправильно.

В подобном возражении самым интересным является его кажущаяся очевидность - при том, что опровергающие его факты общеизвестны. Например, с точки зрения античной математики наша современная арифметическая практика сплошь ошибочна, даже абсурдна. Посмотрим на выражения типа "3 -1", "(3)^1/2", "(3)^-2", "3 - 5" и т.д. Математика в своем историческом развитии превратила эти запрещенные выражения сначала в "допустимые частные случаи", а потом вообще создала совершенно новую практику. В "числах самих по себе" в "арифметике самой по себе" все это вовсе не содержалось. Можно представить себе, что развитие математической мысли пошло бы по другому пути, и тогда у нас были бы совсем другие практики следования арифметическим правилам.

Правило, взятое само по себе, не детерминирует своих применений. Это может показаться очевидным в случае таких, например, правил, как правила защиты диссертаций, когда любой соискатель, ознакомившись с инструкцией, тут же начинает узнавать у людей, прошедших эту процедуру, как принято следовать данной инструкции. Однако считается, что математическое правило по крайней мере должно быть сформулировано так, чтобы полностью определять свои применения, т.е. то, как надо ему следовать. А Витгенштейн в § 189 "Философских исследований" предлагает подумать над тем, как употребляется выражение "быть определяемым алгебраической формулой". Может быть, это означает, что люди обучены употреблять данную формулу так, что она определяет то, что они должны писать, следуя ей как правилу. И только в контексте уже определенного употребления можно отличать формулы, которые полностью определяют (нечто), от тех, которые определяют не полностью. Сам Витгенштейн в этом параграфе рассматривает пример с формулой y = x². Казалось бы, опять он говорит нелепости, недопустимые для человека, знакомого с математикой хотя бы в школьном объеме. И тем не менее опять прав Витгенштейн, а наше недоумение объясняется тем, что мы не видим того, что у нас перед глазами. Не видим потому, что глаза наши закрыты шорами представлений о математике как особой, исключительной, суперстрогой и точной, имеющей дело с особыми, эфирными математическими объектами, - словом, стоящей выше, чем все прочие виды человеческой деятельности.

В том, что говорит Витгенштейн, еще нет в эксплицитном виде какой-то новой философской концепции математики, - но его замечания вызывают "смену аспекта видения", позволяют увидеть привычное в новом свете, избавившись от дихотомии "высшего" и "низшего", профанного и точного знания. И вследствие этого они несут в себе большой энергетический заряд, который рано или поздно выльется в появление новой философии математики, сильно отличающейся от того, что мы имеем сейчас под этим названием, и которая заставит по-другому взглянуть и на историю математики.