Этот правый, левый мир - [3]

Глава 2. Лайнландия и Флатландия

Мы живем в мире трех измерений, или, как иногда говорят для краткости современные геометры, в 3-пространстве. Каждое твердое тело можно измерить вдоль трех осей: север — юг, восток — запад и верх — низ. (Один приятель рассказывал мне, что у них в колледже преподаватель математики, человек с причудами, объяснял существование этих трех осей следующим образом: сперва он бегом пересекал аудиторию поперек, затем вдоль — по центральному проходу, — а после этого несколько раз подпрыгивал на месте.) Изучением геометрических фигур в 3-пространстве занимается стереометрия. Если мы ограничимся рассмотрением двух измерений, то получим планиметрию, то есть геометрию фигур, начерченных на двумерной поверхности — в 2-пространстве. Можно сделать еще один шаг вниз по этой лестнице и рассмотреть фигуры 1-пространства — одномерные фигуры, которые помещаются на прямой линии. Полезно разобрать природу зеркальных отображений во всех трех перечисленных пространствах.

Начнем с самого простого и познакомимся с Лайнландией, которая состоит из точек, образующих одну-единственную прямую, простирающуюся до бесконечности в обоих направлениях. Забавы ради представим себе, что такая линия населена расой примитивных созданий (жителей Лайнландии), которых мы будем называть одномерцами. Одномерцы мужского пола представляют собой длинные отрезки с «глазом» на одном конце (глаз мы будем изображать просто точкой). Одномерцы женского пола — более короткие отрезки и тоже с глазом на конце. Глаза прорезаются лишь у взрослых одномерцев. Дети — просто маленькие палочки без глаз. Чтобы сделать жизнь одномерцев интереснее, мы должны были бы, конечно, поселить их в мире, состоящем из сложной сети линий, чтобы они могли двигаться взад и вперед по ней, переходя с одной линии на другую, как железнодорожные вагоны на разъездах, но это излишне осложнило бы нашу задачу, так что ограничимся пока единственной линией. Если перпендикулярно линии поместить зеркало, как показано на рис. 4, можно получить зеркальные образы одномерцев. На рисунке изображено целое зеркало, но что касается одномерцев, то их «зеркало» — всего лишь точка на линии. Заметим сперва, что одномерец-младенец является точной копией своего зеркального изображения. Это означает, что мы можем мысленно переместить маленького одномерца по линии в само зеркало, не поворачивая одномерца на плоскости, до тех пор, пока он не совпадет точка в точку со своим зеркальным близнецом. Если такую операцию можно сделать с некоторой фигурой, то мы говорим, что эта фигура симметрична.

Рис. 4. Одномерцы и их зеркальные изображения.

А симметричны ли взрослые одномерцы? Нет, потому что мы не можем совмещать их с зеркальными изображениями, перемещая по прямой, — дело в том, что концы у взрослых одномерцев разные. Пусть линия, на которой они живут, простирается с востока на запад. Если взрослый одномерец обращен лицом на восток, его зеркальный двойник будет смотреть на запад. Мы, конечно, можем перевернуть одномерца и точно совместить с изображением, но для этого придется «снять» его с линии и произвести поворот в пространстве более высокой размерности — в двумерном мире. Поскольку, не выходя в пространство высшей размерности, нельзя наложить взрослого одномерца на его зеркальный образ, мы говорим, что эта фигура асимметрична.

Есть и другой способ отличить в Лайнландии симметрию от асимметрии. Если фигура симметрична, то у нее всегда есть точка (только одна) в самом центре, которая делит фигуру на две идентичные половинки, причем одна из них есть отражение другой. Такая точка называется центром симметрии. Если мы поместим зеркало перпендикулярно линии в этой точке, оставшаяся часть фигуры вместе со своим отражением будет точно воспроизводить исходную фигуру независимо от того, в какую сторону обращено зеркало. Можно ли считать тогда, что одномерец с глазами с обоих концов симметричен? Да. Такую фигуру можно было бы наложить на зеркальное изображение, и у нее был бы центр симметрии, делящий фигуру на две зеркальные половинки.

Пусть в Лайнландии живут только три взрослых одномерца — А, Б и В, причем все они «смотрят» на восток. Если мы получим зеркально обращенную картину одного из них, скажем среднего, то все трое мгновенно заметят перемену. Теперь А и Б «глядят друг на друга», а Б и В «повернуты спинами» один к другому. Но если вся прямая окажется зеркально отраженной, то есть вся «вселенная» одномерцев, то сами они о происшедшей перемене не смогут узнать. В действительности для них просто не имеет смысла говорить о какой-либо перемене. Мы знаем, что направление линии изменилось на обратное, но знаем потому, что живем в 3-пространстве и можем наблюдать положение Лайнландии по отношению к внешнему миру. Но одномерцы не могут представить себе пространство размерности большей чем единица. Они знают только свой собственный мирок, ту единственную прямую, на которой живут. С их точки зрения, никакого изменения не произошло. Только в том случае, когда операции зеркального отражения подвергается какая-то