Эта странная математика. На краю бесконечности и за ним - [85]
Самое известное из (до самого последнего времени) недоказанных утверждений в математике – это Великая (или Последняя) теорема Ферма. Название, к слову, не очень удачное, поскольку она не только не была последней из тех теорем, над которыми работал Пьер де Ферма, но и, строго говоря, вообще не была теоремой в том виде, в каком ее сформулировал великий француз. В более ранних работах она называлась точнее – гипотезой Ферма. “Последней” ее называют потому, что она была обнаружена лишь через тридцать лет после смерти математика его сыном Самюэлем в виде заметки, оставленной на полях одной книги из библиотеки ученого – “Арифметики” Диофанта. Формулируется утверждение очень просто: уравнение x>n + y>n = z>n не имеет решений в целых числах для значений n, превышающих 2. При n, равном 2, существует бесконечное число решений, например 3>2 + 4>2 = 9 + 16 = 25 = 5>2. Но если, настаивал Ферма, n равно 3 или больше, решений нет вообще. “Я открыл этому поистине чудесное доказательство, – написал он (на латыни), – но эти поля для него слишком малы”[59].
Гравюра с портретом Пьера де Ферма.
Надо сказать, что Ферма был математиком поистине великим и в просчетах замечен не был. Ни в одном из опубликованных им доказательств не обнаружилось ошибок. Опровергнута была всего одна из его гипотез, причем Ферма и не утверждал, что может ее доказать. Так что же, его загадочный комментарий на полях был шуткой? Может, он таким образом бросал вызов современным ему и будущим математикам, пытаясь подтолкнуть их к поискам доказательства? Или же доказательство у него и правда было и ему действительно просто не хватило места, чтобы его изложить? История подсказывает, что последнее маловероятно: несмотря на многочисленные попытки решить проблему, никому в последующие столетия не удалось найти умеренно лаконичного доказательства. Лишь в 1995 году, через 358 лет после того, как Ферма начертал на полях свою дразнящую воображение заметку, его гипотеза была наконец переведена в разряд доказанных теорем, а потребовавшийся для этого математический арсенал по своей сложности намного превышал все, что было доступно в XVII веке.
Заслуга доказательства теоремы принадлежит британскому математику Эндрю Уайлсу, который “заболел” гипотезой Ферма в десятилетнем возрасте, впервые прочитав о ней по дороге из школы домой в книге, взятой в местной библиотеке. Почти четверть века спустя он всерьез занялся поиском доказательства. Эта работа привела его в область математики, связанную с эллиптическими кривыми и гипотезой Таниямы – Симуры, которую в 1957 году сформулировали японские математики Ютака Танияма и Горо Симура. Уайлс объявил о том, что нашел доказательство Великой теоремы Ферма, во время лекции в 1993 году, но впоследствии в нем был обнаружен изъян, и только два года спустя, уже почти отчаявшись исправить ошибку, Уайлс наконец представил миру безупречное доказательство, решившее вопрос окончательно и бесповоротно. Хотя Великая теорема Ферма – одна из самых известных сложных математических проблем, ее решение не так уж существенно для математики. Она, например, не была включена в составленный Гильбертом список кардинальных проблем. Зато гипотеза Таниямы – Симуры устанавливает важные взаимосвязи между, казалось бы, совершенно различными областями математики.
Доказательства, подобные найденному для Великой теоремы Ферма, непросты потому, что они мудреные и требуют поистине творческих прорывов. Другие сложны в основном из-за того, что трудоемки и немыслимо затратны по времени. Так называемая теорема о четырех красках, которая гласит, что любую карту можно раскрасить всего четырьмя красками так, чтобы ни в одном месте граничащие друг с другом регионы не оказались одного цвета, была впервые сформулирована в 1852 году в письме Огастеса де Моргана, первого профессора математики недавно открытого Университетского колледжа Лондона, своему другу, ирландскому математику Уильяму Гамильтону. Ограничения задачи: каждая из областей на карте должна быть связной; все области должны лежать на плоскости; граничащими друг с другом считаются области, имеющие общий участок границы, стык в одной точке не считается. Как выяснилось, доказать это совсем не просто. Одни теоретические выкладки – уже не подарок, но основная трудность была даже не в них, а в огромном количестве вариантов, требующих проверки. И вот, после более чем ста лет работы и изучения всех возможных карт, математикам удалось свести число уникальных конфигураций к 1936. Однако для проверки даже такого количества вариантов ни одиночному исследователю, ни группе ученых не хватило бы жизни, поэтому для обработки данных задействовали компьютеры. Наконец в 1976 году теорема о четырех красках была доказана Кеннетом Аппелем и Вольфгангом Хакеном из Иллинойского университета и все перепроверено с помощью различных программ и компьютеров.
Несмотря на скрупулезную проверку Аппелем и Хакеном результатов компьютерной обработки данных, проделанная ими работа вызвала бурный протест ряда математиков и философов, утверждавших, что “машинное” доказательство либо нелегитимно, либо ненадежно, поскольку его невозможно проверить вручную. Споры о том, допустимо ли использовать компьютеры для доказательства теорем, не прекращаются и сегодня – из-за опасений получить неверный результат, если вдруг компьютер даст сбой или в программное обеспечение закрадется ошибка. И все же в силу необходимости этот подход получает со временем все большее распространение и признание. Сколько-то развеять сомнения скептиков позволят появившиеся недавно “системы автоматического доказательства теорем” – программы-верификаторы, приводящие доказательства к некоему стандартному виду и проверяющие их на ошибки.
