Эта странная математика. На краю бесконечности и за ним - [63]

 + 2. Можно продолжать и дальше увеличивать длину множества натуральных чисел, переставляя его элементы в самый конец, после многоточия, означающего “и так до бесконечности”: ω + 3, ω + 4, … вплоть до ω + ω (или ω × 2). В последнем случае множество можно записать, например, как подмножество всех четных чисел, за которым следует подмножество всех нечетных: {0, 2, 4, …, 1, 3, 5, …}, ведь каждое из них по длине равно ω. Затем можно снова продолжить переставлять элементы в конец; так, длину ω × 2 + 1 будет иметь множество {2, 4, …, 1, 3, 5, …, 0}. После этого мы можем перейти к степеням ω – ω², ω³, … и далее, вплоть до ω^ω; потом – к возведению степени в степень, надстраивая все новые и новые “этажи” в “степенной башне” до тех пор, пока их количество не достигнет ω. Наконец, есть еще один уровень – ординал, названный Кантором “эпсилон-ноль” (ε₀). Точно так же как ω является наименьшим из ординалов, следующих за конечными ординалами, ε₀ – наименьший из ординалов, следующих за всеми теми, которые можно выразить с помощью ω и операций сложения, умножения и возведения в степень. Это врата в мир чисел эпсилон, такой же бесконечно большой, как мир ординалов омега. Весь процесс, только что описанный для омеги, повторяется для чисел эпсилон до тех пор, пока не будут исчерпаны все математические действия, которые можно к ним применить, включая построение степенной башни из эпсилонов и даже эпсилонов эпсилонов. Исчерпав их, мы оказываемся еще на одном новом уровне бесконечных ординалов, начинающемся с “дзета-нуля” (ζ₀). И так продолжается до бесконечности…

Основная помеха на нашем дальнейшем пути – обозначение всех этих чисел. Буквы в греческом алфавите рано или поздно заканчиваются; есть свой предел и у всех остальных систем, используемых для обслуживания нескончаемой иерархии бесконечных ординалов. Помимо разработки более эффективной и компактной формы записи гигантских бесконечных ординалов есть и другие технические трудности. Оставив далеко позади дзета-ноль, на пути в бесконечность мы то тут, то там встречаем порядковые числа, увековечившие имена описавших их математиков: ординал Фефермана – Шютте, малый и большой ординалы Веблена (и тот и другой – чудовищно большие), ординал Бахмана – Говарда, ординал Чёрча – Клини (впервые описанный американским математиком Алонзо Чёрчем и его студентом Стивеном Клини). Чтобы толком рассказать про любой из них, потребуется отдельная книга – настолько сложные и запутанные расчеты лежат в их основе. Ординал Чёрча – Клини, например, столь непостижимо велик, что для него просто не существует способа обозначения.

Перечисленные ординалы редко встречаются даже в практике профессиональных математиков, не говоря уже о неспециалистах. Объединяет их то, что все они счетные. Другими словами, все бесконечные ординалы, о которых мы говорили до сих пор, начиная с ω, можно поставить в соответствие натуральным числам, один к одному, что логично, поскольку все эти последовательности – лишь результат перегруппировки тех же натуральных чисел. Иначе говоря, все эти множества имеют одинаковую мощность, или размер, – алеф-ноль. Какие из порядковых чисел ни возьми, хоть эпсилон-ноль, хоть даже непомерно большой ординал Чёрча – Клини, они ни на миллиметр не приблизят нас к “большей” бесконечности: ведь это просто разные способы упорядочивания натуральных чисел. Бо́льшая бесконечность – это та, что лежит за пределами алеф-нуля. Но как такое возможно?

Алеф-ноль ведет себя не так, как привычные нам числа. Если 1 + 1 дает в результате 2, то алеф-ноль + 1 – все равно алеф-ноль. Алеф-ноль плюс любое конечное число или минус любое конечное число остается алеф-нулем. Известная детская песенка при этом приобретает новый, более оптимистичный характер: “Алеф-ноль поросят резвились на просторе, / Алеф-ноль поросят пошли купаться в море. / Один из них утоп, ему сложили гроб, / И вот вам результат: / Эх, алеф-ноль поросят” (повторять бесконечно). Алеф-ноль невозможно изменить вычитанием, сложением или умножением на какое бы то ни было конечное число и даже на само себя. Но Кантору удалось доказать с помощью теоремы, носящей сегодня его имя, что все бесконечности выстраиваются в иерархию и алеф-ноль – самая маленькая из них. Следующее бесконечное кардинальное число, алеф-один, гораздо больше и равно размеру множества всех счетных ординалов, а именно тех, которым соответствует кардинальное число алеф-ноль. Наглядно продемонстрировать ординалы, соответствующие мощности алеф-один, в виде последовательности непросто. В качестве примера можно привести множество {0, 1, 2, …, ω, ω + 1, …, ω × 2, …, ω², …, ω^ω, …, ε₀, …}, включающее все счетные ординалы (то есть все различные возможные “длины”, которые можно получить путем перестановки натуральных чисел). Ординал такого множества, его порядковое число – омега-один (наименьший ординал, соответствующий алефу-один).

Напомним, что значит “счетный”: это попросту последовательность или множество, элементы которых можно посчитать, пронумеровать. Иными словами, “счетным” мы вправе назвать то, из чего можно составить последовательность, пусть и не обязательно упорядоченную привычным образом. Иногда для этого требуется некоторая перестановка, как в случае с отелем Гильберта. Поскольку все натуральные числа счетные, алеф-ноль, то есть мощность множества натуральных чисел, называют счетно-бесконечным кардинальным числом. Ему соответствует наименьший бесконечный счетный ординал