Эта странная математика. На краю бесконечности и за ним - [64]

, а также бесконечно много других счетно-бесконечных ординалов. Существование этого бесконечного количества счетных ординалов обусловлено тем, что в случае порядковых чисел существенную роль, как подсказывает их название, играет порядок элементов, а потому между ординалами требуется проводить более тонкое различие, чем между кардинальными числами. Несмотря на это, все счетные ординалы, начиная с ω и дальше, включая числа эпсилон и остальные, соответствуют одному и тому же кардинальному числу – алеф-нулю. Но вот с переходом к алефу-один все разительно меняется. Алеф-один не только неописуемо больше, чем алеф-ноль, он еще и несчетный. Ему соответствует наименьший несчетный ординал: омега-один (ω₁).

Мы уже говорили, что алеф-один – это размер множества счетных ординалов, но можно ли его описать как-то по-другому? С алефом-ноль все понятно: это мощность множества натуральных чисел. А нельзя ли и алефу-один поставить в соответствие что-нибудь знакомое, доступное для понимания? Кантор считал, что можно. Он утверждал, что алеф-один идентичен общему количеству точек на математической прямой, которое, как он установил, в свою очередь, равно количеству точек на плоскости (как бы невероятно это ни звучало) или в пространстве любой другой размерности. Эта бесконечность пространственных точек, называемая континуумом и обозначаемая буквой c, является также множеством всех действительных чисел (включающим в себя все рациональные числа плюс все иррациональные). Действительные числа, в отличие от натуральных, сосчитать невозможно. Предположим, вас спросили бы, какое число следует в ряду действительных чисел за 357. Как бы вы ни тасовали действительные числа, какими бы способами ни пытались их пронумеровать, все равно останутся те, что вы никогда не сумеете сосчитать, даже если заниматься этим вечно.

Кантор выдвинул предположение, получившее известность как “континуум-гипотеза”. Согласно ей, c равно алефу-один, или, другими словами, не существует бесконечного множества с мощностью, занимающей промежуточное положение между мощностями множества натуральных чисел и множества действительных чисел. Однако, несмотря на все старания, Кантору так и не удалось ни доказать, ни опровергнуть свою гипотезу. Сегодня мы уже знаем почему – и ответ на этот вопрос расшатывает самые основы математической науки.

В 1930-х годах ученый-логик австрийского происхождения Курт Гёдель доказал, что континуум-гипотезу невозможно опровергнуть исходя из стандартных аксиом теории множеств. Для этого он построил систему, состоящую из однозначно определенных множеств, – “конструктивный универсум” – и доказал, что все аксиомы внутри нее выполняются, а континуум-гипотеза истинна (хотя из этого и не следует, что конструктивный универсум – единственная такая система). Три десятилетия спустя американский математик Пол Коэн доказал, что и подтвердить истинность континуум-гипотезы в той же системе аксиом тоже невозможно. Иными словами, в рамках привычной для математиков системы эта гипотеза имела неопределенный статус. Возможность возникновения подобной ситуации была предсказана еще в знаменитой теореме Гёделя о неполноте, о которой мы говорили в пятой главе. Она гласит, что в любой достаточно сложной системе аксиом, если она полна, существуют утверждения, которые невозможно ни доказать, ни опровергнуть (мы еще поговорим об этом подробнее, когда вернемся к теореме о неполноте в последней главе). И тем не менее факт независимости континуум-гипотезы заставил математиков понервничать, поскольку то был первый конкретный пример, когда важный для науки вопрос невозможно было разрешить, пользуясь общепринятой системой аксиом, на которой построена вся математика.

Споры о том, верна ли континуум-гипотеза и даже есть ли в ней вообще смысл, не утихают среди математиков и философов до сих пор. Что же касается характера различных видов бесконечности, да и самого существования бесконечных множеств, здесь все зависит от того, какой теорией чисел пользоваться. Разные аксиомы и правила дают разные ответы на вопрос “Что же лежит за пределами всех целых чисел?”. Из-за этого довольно трудно, а то и просто бессмысленно сравнивать различные виды бесконечности и пытаться определить их относительный размер, хотя в пределах конкретной системы чисел бесконечности обычно можно без труда расположить в четком порядке.

За пределами алеф-нуля существует внушительная иерархия кардинальных чисел. Если предположить, что континуум-гипотеза верна (а с этим предположением по умолчанию согласны большинство математиков, поскольку из него можно вывести полезные следствия), то следующим по величине бесконечным кардинальным числом будет алеф-один, равный мощности множества всех действительных чисел, или, иначе говоря, общему количеству возможных способов, какими можно упорядочить элементы множества мощностью алеф-ноль. За ним следует алеф-два (равный числу способов упорядочить элементы множества мощностью алеф-один), затем алеф-три, алеф-четыре и так далее, без конца. Каждому алефу соответствует бесконечное число ординалов, наименьший из которых для алеф-нуля –