Есть идея! - [6]

Шрифт
Интервал

Тренер составил таблицу розыгрыша турнира, снабдив ее следующими пояснениями.

Тренер. Пять — число нечетное, поэтому в первой круге один участник турнира свободен от игры. Еще один участник свободен от игры во втором круге. Таким образом, всего за турнир будет сыграно 4 партии.

На следующий год в спортивный клуб записалось 37 школьников. Тренер снова составил таблицу розыгрыша турнира, постаравшись свести до минимума число участников, которые переходят в следующий круг без игры. Сколько партий было сыграно за весь турнир на этот раз?

Как, вы еще не сосчитали? А ведь задача решается просто! В каждой партии проигравший выбывает, а поскольку дли того, чтобы определить победителя, следует исключить всех участников, кроме одного, то за весь турнир должно состояться 36 партий. Не правда ли, все очень просто?

Сколько участников турнира перейдут в следующий круг без игры?

Если вы пытались решить задачу о турнире по настольному теннису «в лоб», составляя различные варианты таблиц розыгрыша турнира с 37 участниками, то, должно быть, заметили, что независимо от способа составления таблицы число участников, переходящих в следующий круг без игры, всегда равно 4. В общем случае число участников, для которых в очередном круге не хватает партнера, есть функция от числа n всех участников турнира. Кате установить, сколько участников вынуждены будут перейти в следующий круг без игры?

При заданном n число участников, остающихся без партнера, можно определить следующим образом. Вычтем из n наименьшую степень числа 2, которая больше или равна n. Полученную разность запишем в двоичной системе. Число единиц в двоичной записи и будет равно числу участников турнира, вынужденных перейти в следующий круг без игры из-за нехватки партнера. В нашей задаче мы вычтем 37 из 64 (то есть из 2>6) и получим разность, равную 27. Десятичное число 27 в двоичной системе имеет вид 11011. Поскольку в его записи 4 единицы, то за весь турнир без игры в следующий круг перейдут 4 игрока. Обоснование этого алгоритма для определения числа участников, которым не хватает партнера, мы предоставляем читателю в качестве интересного упражнения.

Описанный в задаче тип турнира иногда называют «игрой на вылет». Он аналогичен алгоритму, который вычислители, работающие на современных ЭВМ, используют для нахождения наибольшего элемента в множестве из n элементов: наибольший элемент находят, сравнивая попарно элементы множества и отбрасывая при очередном сравнении тот из двух элементов, который не больше другого. Как мы уже знаем, чтобы найти наибольший элемент, достаточно произвести ровно n − 1 попарных сравнений. При автоматической сортировке сравнивать можно не только по 2, но и по 3, 4 и т. д. элемента.

Автоматическая сортировка играет важную роль в вычислительной математике и в информатике. Ей посвящено немало книг. Каждый из нас без труда назовет длинный перечень примеров применения автоматической сортировки. Подсчитано, что примерно четверть машинного времени в научных и в технических расчетах затрачивается на решение задач, связанных с сортировкой данных.

Стаканчики профессора Квиббла

Как-то раз продавец прохладительных напитков Барни предложил двум покупателям следующую задачку.

Барни. Перед вами 10 бумажных стаканчиков, расставленных в ряд. В первые 5 стаканчиков я наливаю кинки-колу, остальные 5 стаканчиков остаются пустыми. Можно ли переставить 4 стаканчика так, чтобы пустые и полные стаканчики чередовались?

Барни. Правильно! Стоит лишь переставить второй стаканчик с седьмым, а четвертый с девятым, как задача будет решена.

Разговор Барни с покупателями услышал проходивший мимо профессор Квиббл, большой любитель неожиданных решений, который счел необходимым вмешаться.

Проф. Квиббл. Переставлять 4 стаканчика совсем не обязательно. Я берусь решить задачу, переставив лишь 2 стаканчика. Как, по-вашему, это возможно?

Проф. Квиббл. Мое решение проще простого. Я беру второй стаканчик и переливаю его содержимое в седьмой, а содержимое четвертого стаканчика — в девятый.

Глубокая мысль

Хотя предложенное профессором Квибблом шуточное решение основано на неоднозначном толковании слова «переставить» (означающего не только «поменять местами», как полагал Барни, но и «поставить по-другому», чем и воспользовался профессор Квиббл), исходная задача не столь тривиальна, как может показаться. Рассмотрим, например, аналогичную задачу для случая, когда из 200 стаканчиков, выстроенных в ряд, в первые 100 налита кинки-кола, а 100 остальных оставлены пустыми. Сколько пар стаканчиков следует поменять местами, чтобы пустые и полные стаканчики чередовались?

Поскольку следить за 200 стаканчиками довольно трудно, разберем сначала ту же задачу при меньших значениях n, где n — число полных (или пустых) стаканчиков, и попытаемся подметить общую закономерность. Стаканчики можно «моделировать» фишками двух цветов, игральными картами, выложенными на столе рубашкой либо вверх, либо вниз, монетами и тому подобными предметами, наделенными каким-нибудь «двузначным» признаком. При n = 1 для решения задачи не требуется переставлять ни одной пары стаканчиков. При


Еще от автора Мартин Гарднер
Математические головоломки и развлечения

Книга известного американского популяризатора науки М. Гарднера содержит множество занимательных задач и головоломок из самых различных областей математики. Благодаря удачному подбору материла, необычной форме его подачи и тонкому юмору автора она не только доставит удовольствие любителям математики, желающим с пользой провести свой досуг, но и может быть полезной преподавателям математики школ и колледжей в их работе.


Математические чудеса и тайны

В книге рассказывается история главного героя, который сталкивается с различными проблемами и препятствиями на протяжении всего своего путешествия. По пути он встречает множество второстепенных персонажей, которые играют важные роли в истории. Благодаря опыту главного героя книга исследует такие темы, как любовь, потеря, надежда и стойкость. По мере того, как главный герой преодолевает свои трудности, он усваивает ценные уроки жизни и растет как личность.


Остров пяти красок

В книге рассказывается история главного героя, который сталкивается с различными проблемами и препятствиями на протяжении всего своего путешествия. По пути он встречает множество второстепенных персонажей, которые играют важные роли в истории. Благодаря опыту главного героя книга исследует такие темы, как любовь, потеря, надежда и стойкость. По мере того, как главный герой преодолевает свои трудности, он усваивает ценные уроки жизни и растет как личность.


Теория относительности для миллионов

Книга Гарднера — это популярное изложение специальной и общей теории относительности, действительно рассчитанное на миллионы читателей.Увлекательно и доступно написанная, она будет понятна всем, начиная со школьников старших классов. Особо следует отметить прекрасные иллюстрации. Благодаря им книга похожа на альбом под названием «Теория относительности в картинках».Впрочем, именно такой и должна быть популярная книга.


Когда ты была рыбкой, головастиком - я...

      Имя Мартина Гарднера (р. 1914) хорошо известно в России. За свою долгую жизнь он написал более 70 книг, ставших популярными во всем мире, многие из них издавались и на русском языке. Гарднер — автор огромного количества статей, посвященных математике (на протяжении 25 лет он вел колонку математических игр и фокусов в журнале «Scientific America»), а также фантастических рассказов и эссе на самые разные темы. В сборник «Когда ты была рыбкой, головастиком — я…» вошли статьи, посвященные вопросам, явлениям или событиям, особенно взволновавшим писателя в последние годы.


А ну-ка, догадайся!

Книга известного американского популяризатора науки Мартина Гарднера, посвященная логическим и математическим парадоксам.Рассчитана на самый широкий круг читателей.


Рекомендуем почитать
Урожаи и посевы

Первый перевод с французского книги «Recoltes et Semailles» выдающегося математика современности Александра Гротендика. Автор пытается проанализировать природу математического открытия, отношения учителя и учеников, роль математики в жизни и обществе. Текст книги является философски глубоким и нетривиальным и носит характер воспоминаний и размышлений. Книга будет интересна широкому кругу читателей — математикам, физикам, философам и всем интересующимся историческими, методическими и нравственными вопросами, связанными с процессом математического открытия и возникновения новых теорий.


Вначале была аксиома. Гильберт. Основания математики

Давид Гильберт намеревался привести математику из методологического хаоса, в который она погрузилась в конце XIX века, к порядку посредством аксиомы, обосновавшей ее непротиворечиво и полно. В итоге этот эпохальный проект провалился, но сама попытка навсегда изменила облик всей дисциплины. Чтобы избавить математику от противоречий, сделать ее «идеальной», Гильберт исследовал ее вдоль и поперек, даже углубился в физику, чтобы предоставить квантовой механике структуру, названную позже его именем, — гильбертово пространство.


Симпсоны и их математические секреты

Саймон Сингх рассказывает о самых интересных эпизодах мультсериала, в которых фигурируют важнейшие математические идеи – от числа π и бесконечности до происхождения чисел и самых сложных проблем, над которыми работают современные математики.Книга будет интересна поклонникам сериала «Симпсоны» и всем, кто увлекается математикой.На русском языке публикуется впервые.


Жар холодных числ и пафос бесстрастной логики

Цель книги доктора философских наук Б. В. Бирюкова и кандидата философских наук В. Н. Тростникова - создать общую картину подготовки и развития логико-математических аспектов кибернетики. Авторы рассказывают о длительном развитии науки логики, возникшей еще в Древней Греции, прослеживают непрерывающуюся нить преемственности, тянущуюся от Аристотеля к "чуду XX века" - быстродействующим кибернетическим устройствам.


Истина и красота: Всемирная история симметрии

На протяжении многих веков симметрия оставалась ключевым понятием для художников, архитекторов и музыкантов, однако в XX веке ее глубинный смысл оценили также физики и математики. Именно симметрия сегодня лежит в основе таких фундаментальных физических и космологических теорий, как теория относительности, квантовая механика и теория струн. Начиная с древнего Вавилона и заканчивая самыми передовыми рубежами современной науки Иэн Стюарт, британский математик с мировым именем, прослеживает пути изучения симметрии и открытия ее основополагающих законов.


Простая одержимость: Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике

Сколько имеется простых чисел, не превышающих 20? Их восемь: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 и 19. А сколько простых чисел, не превышающих миллиона? Миллиарда? Существует ли общая формула, которая могла бы избавить нас от прямого пересчета? Догадка, выдвинутая по этому поводу немецким математиком Бернхардом Риманом в 1859 году, для многих поколений ученых стала навязчивой идеей: изящная, интуитивно понятная и при этом совершенно недоказуемая, она остается одной из величайших нерешенных задач в современной математике.