Есть идея! - [45]

В свази с рассмотрением задачи в общем случае возникает интересный вопрос относительно того, насколько хорошо она определена и не содержит ли она в своих условиях чрезмерный произвол, исключающий возможность однозначного ответа. При каких предположениях задача в общем случае допускает однозначный ответ? Обязательно ли предполагать, что быстрота, с которой соображает каждый из n претендентов на ахову награду, может служить его отличительным признаком, то есть всех претендентов можно упорядочить но быстроте, с которой они думают? Нужно ли предполагать, что с увеличением n возрастает продолжительность времени, в течение которого претендент на награду успевает прийти к заключению о цвете своей шляпы? Предположим, что число претендентов на ахову награду возросло до 100 человек. Верно ли утверждение о том, что по истечении достаточно продолжительной паузы самый умный из них заявит, что у него на голове красная шляпа, затем с некоторым запозданием к аналогичному выводу придет второй по сообразительности из претендентов, затем третий и так далее до тех пор, пока последний тугодум (из лучших студентов проф. Аха) не поймет, что у него на голове красная шляпа?

Классическая задача о шляпах (или колпаках) существует во множестве вариантов. Вот один из них, отчетливо показывающий, насколько усложняется задача, если шляпы на головах действующих лиц могут быть трех или более различных цветов. Предположим, что из 5 белых, 2 красных и 2 черных шляп выбраны какие-то 5 шляп и надеты на головы 5 людей. Если все шляпы белые, то каким образом один из великолепной пятерки, более сообразительный, чем остальные, догадается, что у него на голове белая шляпа?

Особым изяществом отличается следующий вариант исходной задачи с шляпами 2 цветов и 3 действующими лицами, позволяющий исключить все недомолвки и неоднозначности, присущие задаче в ее традиционной постановке. Предположим, что трое людей сидят на стульях в затылок друг другу и каждый смотрит только прямо перед собой. Сидящий сзади видит шляпы обоих людей, сидящих перед ним. Сидящий посредине видит шляпу только того, кто сидит перед ним, а сидящий впереди не видит перед собой ни одной шляпы. (Все трое как бы страдают прогрессирующей слепотой, причем сидящий сзади видит лучше двух остальных, а сидящий впереди полностью ослеп.)

Судья соревнования на сообразительность выбирает 3 шляпы из 3 белых и 2 черных шляп. Сидящие зажмуривают глаза и открывают их по команде лишь после того, как им на головы наденут шляпы, а лишние шляпы уберут.

Судья спрашивает сидящего сзади, знает ли он цвет своей шляпы и получает отрицательный ответ. Сидящий посредине на тот же вопрос отвечает также отрицательно.

Когда же судья спрашивает у сидящего впереди, знает ли тот цвет своей шляпы, то получает ответ: «Знаю, у меня на голове белая шляпа». Каким образом сидящий впереди отгадал цвет своей шляпы?

Он рассуждал следующим образом: «Сидящий сзади ответит судье утвердительно лишь в том случае, если он видит 2 черные шляпы. Поскольку на вопрос судьи он ответил отрицательно, то это означает, что по крайней мере одна из двух шляп, которые он видит, не черная. Предположим, что у меня на голове черная шляпа. Тогда сидящий на среднем стуле видит черную шляпу и, услышав, что сосед сзади на вопрос судьи ответил отрицательно, догадается, что у него самого на голове должна, быть белая шляпа, так как в противном случае сосед сзади видел бы 2 черные шляпы и на вопрос судьи ответил бы утвердительно. Следовательно, если бы у меня на голове была черная шляпа, то сидящий посредине на вопрос судьи ответил бы утвердительно. Но он ответил отрицательно. Значит, он видит перед собой белую шляпу у меня на голове. Отсюда я заключаю, что мое исходное предположение ложно и у меня на голове белая шляпа».

Как и предыдущий вариант, эта задача также легко обобщается методом математической индукции на случай n людей «с прогрессирующей слепотой», сидящих в затылок друг другу на n стульях. Судья обходит всех участников состязания на сообразительность и каждому по очереди задает один и тот же вопрос: «Знаете ли вы, какого цвета шляпа у вас на голове?», причем первый спрашивает того, кто сидит сзади, потом сидящего перед ним и т. д. Запас шляп состоит из n белых и n − 1 черных шляп. Рассмотрим случай n = 4. Сидящий впереди «слепой» знает, что если шляпа черная, то трое сидящих сзади него видят ее и знают, что среди доставшихся им шляп черных не более двух. Тем самым задача сводится к предыдущей. Если на вопрос судьи сидящий сзади и тот, кто сидит непосредственно перед ним, ответили бы отрицательно, то сидящий непосредственно за «слепым» ответил бы утвердительно, как и в предыдущем случае. А поскольку он отвечает утвердительно, то «слепой» отбрасывает свое первоначальное предположение как ложное и заключает, что его шляпа должна быть белой. Математическая индукция позволяет распространить доказательство на случай n человек. Если на вопрос судьи все, кроме «слепого» отвечают отрицательно, то у всех n на головах должны красоваться белые шляпы.

Теперь мы уже достаточно подготовлены и к более трудному варианту. Предположим, что трем участникам состязания на сообразительность судья раздает шляпы, выбирая их в любом наборе из 3 белых и 2 черных шляп. Участников состязания судья опрашивает в том же порядке, что и прежде. Будет ли кто-нибудь из них на вопрос судьи всегда отвечать утвердительно? Предоставляем вам возможность самостоятельно решить эту задачу и доказать, что ее можно обобщить на случай