Есть идея! - [11]
Из длинного списка хлопотливых домашних дел мистеру и миссис Джонс осталось выполнить три пункта:
1) произвести уборку на первом этаже (у семейства Джонсов имеется 1 пылесос, на уборку первого этажа уходит 30 мин);
2) подстричь газон перед домом (у семейства Джонсов имеется 1 машинка для стрижки газона, на выполнение этого задания необходимо затратить 30 мин);
3) накормить и уложить спать ребенка (на это также требуется затратить 30 мин).
Как следует распределить обязанности супругам Джонс, чтобы завершить все работы по дому в кратчайший срок? Если предположить, что мистер и миссис Джонс работают одновременно, то трудно удержаться от искушения дать ответ: «На выполнение 3 пунктов программы у супругов Джонс уйдет 60 мин». Но если одну из работ, например уборку первого этажа, разделить на 2 равные части и выполнение второй половины отложить (как в задаче с поджариванием ромштексов) до завершения другой работы, то на выполнение намеченной программы у супругов Джонс уйдет лишь ¾ времени (по сравнению с первым вариантом), или 45 мин.
А вот более хитроумная задача на исследование операций: требуется как можно быстрее обжарить с двух сторон 3 ломтика хлеба и каждый из них с одной стороны намазать маслом. В нашем распоряжении имеется тостер устаревшей модели с дверцами на пружинках справа и слева. Тостер вмещает одновременно 2 ломтика хлеба и поджаривает их только с одной стороны. Чтобы поджарить тосты с двух сторон, необходимо открыть дверцы и перевернуть ломтики на другую сторону.
Чтобы положить ломтик хлеба в тостер, требуется затратить 3 с. Еще 3 с уходит на то, чтобы вынуть каждый ломтик из тостера, и 3 с требуется для того, чтобы повернуть ломтик на другую сторону, не вынимая его из тостера. Каждую из этих операций необходимо производить двумя руками. Это означает, что ли одну из них нельзя выполнить одновременно над двумя ломтиками хлеба. Кроме того, пока мы кладем ломтик хлеба в тостер, вынимаем его оттуда или переворачиваем, его нельзя намазать маслом. Ломтик хлеба поджаривается с одной стороны за 30 с. Намазать ломтик хлеба маслом можно за 12 с.
Каждый тост требуется намазать маслом только с одной стороны. Намазывать маслом неподжаренную сторону запрещается. Ломтик хлеба, поджаренный и намазанный маслом с одной стороны, можно снова положить в тостер, чтобы поджарить с другой стороны. Сразу после включения тостер нагревается до рабочей температуры. Сколько времени потребуется, чтобы поджарить с двух сторон 3 ломтика хлеба и каждый из них намазать маслом?
Нетрудно спланировать все операции так, чтобы 3 ломтика поджаренного хлеба с маслом были готовы за 2 мин. Но 9 с можно сэкономить, если вам удастся набрести на следующую счастливую идею: ломтик хлеба можно поджарить с одной стороны не до конца, затем вынуть из тостера и дожарить позже. При таком подходе время на приготовление 3 ломтиков поджаренного хлеба с маслом удается сократить до 114 с. Но даже для тех, кому удается подобрать ключ к решению, составление оптимального графика выполненных операций остается далеко не легкой задачей. Что же касается бесчисленных проблем на составление самых экономичных последовательностей операций в различных областях человеческой деятельности, то они требуют для своего решения сложных математических методов, обращения к ЭВМ и современной теории графов.
Упрямые плитки
Площадка перед домом мистера Брауна выложена 40 квадратными плитками. Со временем некоторые плитки треснули, и мистер Браун решил покрыть площадку заново.
Он отправился в магазин и выбрал новые плитки, которые имели форму прямоугольников, составленных из двух квадратов размером в старую плитку.
Владелец магазина. Сколько вам нужно плиток, мистер Браун?
Мистер Браун. Мне нужно покрыть 40 квадратов. Думаю, что 20 плиток будет достаточно.
Но когда м-р Браун попытался вымостить площадку новыми плитками, то ничего хорошего из этого не получилось. Как он ни старался, уложить плитки так, чтобы они покрыли всю площадку, это ему не удалось.
Бетси. Что случилось, папа? Чем ты так озабочен?
М-р Браун. Никак не могу уложить эти проклятые плитки! Как ни бьюсь, два квадрата остаются непокрытыми. С ума можно сойти!
Дочь мистера Брауна начертила план площадки, раскрасила квадраты в шахматном порядке и в течение нескольких минут внимательно разглядывала свой рисунок.
Бетси. Есть идея! Я поняла, почему у тебя ничего не получается, папа! Все дело в том, что каждая новая плитка должна накрывать один белый и один черный квадрат.
Какое отношение это имеет к делу? Что Бетси имеет в виду?
На плане площадки 21 черный квадрат и 19 белых квадратов. Следовательно, после того, как уложено 19 новых плиток, 2 черных квадрата неизменно остаются непокрытыми, и покрыть их одной новой плиткой невозможно. Единственный способ выйти из затруднения — расколоть новую плитку на два квадрата.
Дочь мистера Брауна нашла способ покрыть площадку прямоугольными плитками, воспользовавшись рассуждением, известным под названием «проверка на четность». Мы говорим о двух числах, что их четность одинакова, если они либо оба четны, либо оба нечетны. Если одно число четно, а другое нечетно, то говорят, что их четность различна. С подобными ситуациями неоднократно приходится сталкиваться в комбинаторной геометрии.
Книга известного американского популяризатора науки М. Гарднера содержит множество занимательных задач и головоломок из самых различных областей математики. Благодаря удачному подбору материла, необычной форме его подачи и тонкому юмору автора она не только доставит удовольствие любителям математики, желающим с пользой провести свой досуг, но и может быть полезной преподавателям математики школ и колледжей в их работе.
В книге рассказывается история главного героя, который сталкивается с различными проблемами и препятствиями на протяжении всего своего путешествия. По пути он встречает множество второстепенных персонажей, которые играют важные роли в истории. Благодаря опыту главного героя книга исследует такие темы, как любовь, потеря, надежда и стойкость. По мере того, как главный герой преодолевает свои трудности, он усваивает ценные уроки жизни и растет как личность.
В книге рассказывается история главного героя, который сталкивается с различными проблемами и препятствиями на протяжении всего своего путешествия. По пути он встречает множество второстепенных персонажей, которые играют важные роли в истории. Благодаря опыту главного героя книга исследует такие темы, как любовь, потеря, надежда и стойкость. По мере того, как главный герой преодолевает свои трудности, он усваивает ценные уроки жизни и растет как личность.
Книга Гарднера — это популярное изложение специальной и общей теории относительности, действительно рассчитанное на миллионы читателей.Увлекательно и доступно написанная, она будет понятна всем, начиная со школьников старших классов. Особо следует отметить прекрасные иллюстрации. Благодаря им книга похожа на альбом под названием «Теория относительности в картинках».Впрочем, именно такой и должна быть популярная книга.
Имя Мартина Гарднера (р. 1914) хорошо известно в России. За свою долгую жизнь он написал более 70 книг, ставших популярными во всем мире, многие из них издавались и на русском языке. Гарднер — автор огромного количества статей, посвященных математике (на протяжении 25 лет он вел колонку математических игр и фокусов в журнале «Scientific America»), а также фантастических рассказов и эссе на самые разные темы. В сборник «Когда ты была рыбкой, головастиком — я…» вошли статьи, посвященные вопросам, явлениям или событиям, особенно взволновавшим писателя в последние годы.
Книга известного американского популяризатора науки Мартина Гарднера, посвященная логическим и математическим парадоксам.Рассчитана на самый широкий круг читателей.
Произведения Э. Эбботта и Д. Бюргера едины по своей тематике. Авторы в увлекательной форме с неизменным юмором вводят читателя в русло важных геометрических идей, таких, как размерность, связность, кривизна, демонстрируя абстрактные объекты в различных «житейских» ситуациях. Книга дополнена научно-популярными статьями о четвертом измерении. Ее с интересом и пользой прочтут все любители занимательной математики.
Любую задачу можно решить разными способами, однако в учебниках чаще всего предлагают только один вариант решения. Настоящее умение заключается не в том, чтобы из раза в раз использовать стандартный метод, а в том, чтобы находить наиболее подходящий, пусть даже и необычный, способ решения.В этой книге рассказывается о десяти различных стратегиях решения задач. Каждая глава начинается с описания конкретной стратегии и того, как ее можно использовать в бытовых ситуациях, а затем приводятся примеры применения такой стратегии в математике.
Давид Гильберт намеревался привести математику из методологического хаоса, в который она погрузилась в конце XIX века, к порядку посредством аксиомы, обосновавшей ее непротиворечиво и полно. В итоге этот эпохальный проект провалился, но сама попытка навсегда изменила облик всей дисциплины. Чтобы избавить математику от противоречий, сделать ее «идеальной», Гильберт исследовал ее вдоль и поперек, даже углубился в физику, чтобы предоставить квантовой механике структуру, названную позже его именем, — гильбертово пространство.
Саймон Сингх рассказывает о самых интересных эпизодах мультсериала, в которых фигурируют важнейшие математические идеи – от числа π и бесконечности до происхождения чисел и самых сложных проблем, над которыми работают современные математики.Книга будет интересна поклонникам сериала «Симпсоны» и всем, кто увлекается математикой.На русском языке публикуется впервые.
На протяжении многих веков симметрия оставалась ключевым понятием для художников, архитекторов и музыкантов, однако в XX веке ее глубинный смысл оценили также физики и математики. Именно симметрия сегодня лежит в основе таких фундаментальных физических и космологических теорий, как теория относительности, квантовая механика и теория струн. Начиная с древнего Вавилона и заканчивая самыми передовыми рубежами современной науки Иэн Стюарт, британский математик с мировым именем, прослеживает пути изучения симметрии и открытия ее основополагающих законов.
Сколько имеется простых чисел, не превышающих 20? Их восемь: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 и 19. А сколько простых чисел, не превышающих миллиона? Миллиарда? Существует ли общая формула, которая могла бы избавить нас от прямого пересчета? Догадка, выдвинутая по этому поводу немецким математиком Бернхардом Риманом в 1859 году, для многих поколений ученых стала навязчивой идеей: изящная, интуитивно понятная и при этом совершенно недоказуемая, она остается одной из величайших нерешенных задач в современной математике.