Есть идея! - [10]

Шрифт
Интервал

Подмножества Квиббла

Счастливая идея, позволяющая сразу же решить головоломку проф. Квиббла, сводится к тому, что одни и те же монеты могут одновременно находиться более чем в одном стакане. На языке теории множеств решение задачи допускает следующее описание: имеется два множества монет, одно из которых содержит 7 элементов, а другое — 3 элемента, причем в последнем множестве выделено подмножество, содержащее 1 элемент. Наглядно полученное решение можно изобразить в виде следующей диаграммы:

Найти все остальные решения мы предоставляем читателю. Додуматься до 10 решений, одно из которых предложил проф. Квиббл, не составит особого труда, но найти еще 5 решений (всего существует 15 решений задачи) не так-то просто: необходимо «озарение».

После того как вам удастся найти все 15 решений, попробуйте обобщить задачу, варьируя число монет, стаканов и отличительные особенности числа монет, разложенных по стаканам.

Основная идея «счастливой находки», позволившей решить задачу проф. Квиббла (элементы какого-то множества принадлежат другому множеству и при подсчете учитываются дважды), встречается во многих известных головоломках и парадоксах. Приведем лишь одну из таких задач, носящую шуточный характер.

После того как один школьник пропустил целую неделю занятий, его навестил учитель. Школьник принялся объяснять, почему ему некогда ходить в школу.

— Я сплю 8 часов в сутки. Это составляет 8 × 365 = 2920 часов в году, или, так как в сутках 24 часа, 2920: 24 (около 122) суток.

По субботам и воскресеньям школа не работает, что составляет за год 104 дня.

60 дней в году приходятся на летние каникулы.

На завтрак, обед и ужин у меня уходит 3 часа в день, то есть 3 × 365 = 1095 часов, или 1095: 24 (около 45 суток) в год.

По крайней мере 2 часа в день мне необходимы для отдыха, что составляет 2 × 365 = 730 часов, или 730: 24 (около 30 суток) в год.

Школьник выписал названные им числа в столбец и просуммировал:

На сон — 122

Субботы и воскресенья — 104

Летние каникулы — 60

Завтраки, обеды и ужины — 45

Отдых — 30

Итого — 361 день

— Видите, — продолжал школьник, — у меня остается всего-навсего 4 дня в год на болезни, а о праздниках я и не говорю!

Учитель внимательно проверил все выкладки, но не смог обнаружить в них ошибки. Проверьте этот парадокс на своих приятелях. Многие из них сумеют найти ошибку? А ошибка кроется в том, что некоторые подмножества дней года сосчитаны более одного раза: множества, на которые школьник разбил 365 дней в году, перекрываются (пересекаются) так же, как множества монет в стаканах проф. Квиббла.

Как поджарить ромштексы?

На лужайке перед домом мистер Джонсон соорудил небольшую плиту, иа которой за один час можно поджарить 2 ромштекса. Его жена и дочь Бетси очень проголодались и хотят поесть как можно скорей. Как быстрее всего поджарить 3 ромштекса?

Мистер Джонсон. Чтобы поджарить с двух сторон 1 ромштекс, требуется 20 мин (по 10 мин на каждую сторону). Значит, за 20 мин можно приготовить 2 ромштекса. Еще 20 мин мне понадобится, чтобы поджарить третий ромштекс, поэтому всего на приготовление 3 ромштексов придется затратить 40 мин.

Бетси. Папочка, ромштексы можно поджарить гораздо быстрее! Я только что придумала, как можно сэкономить 10 мин.

Какая удачная мысль позволила Бетси сократить приготовление обеда на 10 мин?

Чтобы объяснить предложенное Бетси решение, обозначим ромштексы A, B и C, а их стороны — цифрами 1 и 2. За первые 10 мин следует поджарить стороны А1 и В1.

Отложим ромштекс B в сторону и поджарим за следующие 10 мин стороны A2 и C1. К концу 20-й минуты ромштекс A будет готов.

Еще через 10 мин поджарятся стороны B2 и C2. Таким образом, на приготовление всех 3 ромштексов уйдет всего 30 мин, что и утверждала Бетси.

Общая стратегия

Рассмотренная нами простая комбинаторная задача относится к одному из разделов современной математики, известному под названием «исследование операций». На ее примере хорошо видно, что если серию операций необходимо произвести в кратчайший срок, то оптимальная последовательность операций может оказаться не вполне очевидной. Последовательность, которая на первый взгляд кажется оптимальной, в действительности может допускать существенное усовершенствование. В нашей проблеме удачная мысль сводится к тому, что после того, как ромштекс поджарен с одной стороны, отнюдь не обязательно тотчас же поджаривать его с другой стороны.

Как обычно, рассмотренная нами простая задача допускает не одно обобщение. Например, условия задачи можно варьировать, изменяя число ромштексов, которые можно одновременно поджаривать на плите, число ромштексов, которые требуется поджарить, или то и другое одновременно. Другой подход к обобщению задачи состоит в увеличении числа сторон, с которых требуется «обжарить» тот или иной предмет. Например, кому-нибудь может понадобиться окрасить со всех сторон в красный цвет n кубов, окрашивая за один раз по одной грани k кубов.

Исследование операций находит применение при решении практических задач в торговле, промышленности, военном деле и многих других областях человеческой деятельности. Чтобы по достоинству оценить решение даже столь простой задачи, как рассмотренная нами задача о наиболее быстром способе приготовления 2 ромштексов, рассмотрим следующий вариант.


Еще от автора Мартин Гарднер
Математические головоломки и развлечения

Книга известного американского популяризатора науки М. Гарднера содержит множество занимательных задач и головоломок из самых различных областей математики. Благодаря удачному подбору материла, необычной форме его подачи и тонкому юмору автора она не только доставит удовольствие любителям математики, желающим с пользой провести свой досуг, но и может быть полезной преподавателям математики школ и колледжей в их работе.


Математические чудеса и тайны

В книге рассказывается история главного героя, который сталкивается с различными проблемами и препятствиями на протяжении всего своего путешествия. По пути он встречает множество второстепенных персонажей, которые играют важные роли в истории. Благодаря опыту главного героя книга исследует такие темы, как любовь, потеря, надежда и стойкость. По мере того, как главный герой преодолевает свои трудности, он усваивает ценные уроки жизни и растет как личность.


Остров пяти красок

В книге рассказывается история главного героя, который сталкивается с различными проблемами и препятствиями на протяжении всего своего путешествия. По пути он встречает множество второстепенных персонажей, которые играют важные роли в истории. Благодаря опыту главного героя книга исследует такие темы, как любовь, потеря, надежда и стойкость. По мере того, как главный герой преодолевает свои трудности, он усваивает ценные уроки жизни и растет как личность.


Теория относительности для миллионов

Книга Гарднера — это популярное изложение специальной и общей теории относительности, действительно рассчитанное на миллионы читателей.Увлекательно и доступно написанная, она будет понятна всем, начиная со школьников старших классов. Особо следует отметить прекрасные иллюстрации. Благодаря им книга похожа на альбом под названием «Теория относительности в картинках».Впрочем, именно такой и должна быть популярная книга.


Когда ты была рыбкой, головастиком - я...

      Имя Мартина Гарднера (р. 1914) хорошо известно в России. За свою долгую жизнь он написал более 70 книг, ставших популярными во всем мире, многие из них издавались и на русском языке. Гарднер — автор огромного количества статей, посвященных математике (на протяжении 25 лет он вел колонку математических игр и фокусов в журнале «Scientific America»), а также фантастических рассказов и эссе на самые разные темы. В сборник «Когда ты была рыбкой, головастиком — я…» вошли статьи, посвященные вопросам, явлениям или событиям, особенно взволновавшим писателя в последние годы.


А ну-ка, догадайся!

Книга известного американского популяризатора науки Мартина Гарднера, посвященная логическим и математическим парадоксам.Рассчитана на самый широкий круг читателей.


Рекомендуем почитать
Урожаи и посевы

Первый перевод с французского книги «Recoltes et Semailles» выдающегося математика современности Александра Гротендика. Автор пытается проанализировать природу математического открытия, отношения учителя и учеников, роль математики в жизни и обществе. Текст книги является философски глубоким и нетривиальным и носит характер воспоминаний и размышлений. Книга будет интересна широкому кругу читателей — математикам, физикам, философам и всем интересующимся историческими, методическими и нравственными вопросами, связанными с процессом математического открытия и возникновения новых теорий.


Вначале была аксиома. Гильберт. Основания математики

Давид Гильберт намеревался привести математику из методологического хаоса, в который она погрузилась в конце XIX века, к порядку посредством аксиомы, обосновавшей ее непротиворечиво и полно. В итоге этот эпохальный проект провалился, но сама попытка навсегда изменила облик всей дисциплины. Чтобы избавить математику от противоречий, сделать ее «идеальной», Гильберт исследовал ее вдоль и поперек, даже углубился в физику, чтобы предоставить квантовой механике структуру, названную позже его именем, — гильбертово пространство.


Симпсоны и их математические секреты

Саймон Сингх рассказывает о самых интересных эпизодах мультсериала, в которых фигурируют важнейшие математические идеи – от числа π и бесконечности до происхождения чисел и самых сложных проблем, над которыми работают современные математики.Книга будет интересна поклонникам сериала «Симпсоны» и всем, кто увлекается математикой.На русском языке публикуется впервые.


Жар холодных числ и пафос бесстрастной логики

Цель книги доктора философских наук Б. В. Бирюкова и кандидата философских наук В. Н. Тростникова - создать общую картину подготовки и развития логико-математических аспектов кибернетики. Авторы рассказывают о длительном развитии науки логики, возникшей еще в Древней Греции, прослеживают непрерывающуюся нить преемственности, тянущуюся от Аристотеля к "чуду XX века" - быстродействующим кибернетическим устройствам.


Истина и красота: Всемирная история симметрии

На протяжении многих веков симметрия оставалась ключевым понятием для художников, архитекторов и музыкантов, однако в XX веке ее глубинный смысл оценили также физики и математики. Именно симметрия сегодня лежит в основе таких фундаментальных физических и космологических теорий, как теория относительности, квантовая механика и теория струн. Начиная с древнего Вавилона и заканчивая самыми передовыми рубежами современной науки Иэн Стюарт, британский математик с мировым именем, прослеживает пути изучения симметрии и открытия ее основополагающих законов.


Простая одержимость: Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике

Сколько имеется простых чисел, не превышающих 20? Их восемь: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 и 19. А сколько простых чисел, не превышающих миллиона? Миллиарда? Существует ли общая формула, которая могла бы избавить нас от прямого пересчета? Догадка, выдвинутая по этому поводу немецким математиком Бернхардом Риманом в 1859 году, для многих поколений ученых стала навязчивой идеей: изящная, интуитивно понятная и при этом совершенно недоказуемая, она остается одной из величайших нерешенных задач в современной математике.