Добро пожаловать во Вселенную - [7]

15. с Бывает ли околополярна Луна, если наблюдать ее с Северного полюса? Ответ поясните.

15. d Вы находитесь в средних широтах северного полушария и наблюдаете лунное затмение в полночь. Где была Луна?

• восходила на восточном горизонте,

• заходила на западном горизонте,

• находилась высоко в небе или

• не была видна, поскольку находилась ниже горизонта?

Ответ поясните. Вероятно, нужно нарисовать схему.

16. Аристарх и Луна

Древнегреческий философ Аристарх обнаружил, что, зная угол между

Луной и Солнцем, когда Луна освещена наполовину, можно найти отношение расстояния от Земли до Луны к расстоянию от Земли до Солнца. В этой задаче мы количественно проследим за ходом его мысли.

На рис. 1 к этой задаче буквами E, M и S обозначены Земля, Луна и

Солнце соответственно. Луна показана в первой четверти (то есть с Земли видно ровно половину ее диска), когда Земля, Луна и Солнце образуют прямой угол. Аналогичным образом третья четверть — это точка Ma. Поскольку расстояние до Солнца не бесконечно, точки первой и последней четверти на

25

ЧАСТЬ I. Звезды, планеты, жизнь лунной орбите не в точности противоположны друг другу. В частности, есть ненулевой угол между линией от Земли до Луны в первой четверти и линией, перпендикулярной линии от Земли до Солнца (то есть, имеется линия от E

до A, не совпадающая с линией от E до М).

16. а На основе школьной геометрии докажите, что угол ESM равен углу AEM.

A M

E

S

M’

Рис. 1. Рисунок к задаче 16. Масштаб не соблюден. E — это Земля, M и Ma — Луна, S — Солнце. Окружность — орбита Луны. Положение Луны отмечено в первой и последней четверти, с Земли видно, что ее диск освещен наполовину. В этих точках углы EMS и EMaS — прямые.

16. b С помощью малоугловой формулы выразите угол ESM через расстояние EM от Земли до Луны и расстояние ES от Земли до Солнца.

Выразите этот угол и в градусах, и в радианах.

16. с Вы должны были обнаружить, что отклонение угла SEM от 90°

очень мало. Аристарх определил, что этот угол равен 3° (он ошибался). Если считать, что угловые диаметры Луны и Солнца одинаковы, какой вывод сделал Аристарх об отношении физических диаметров Солнца и Луны?

17. Расстояние до Марса

Вы с приятелем решаете измерить расстояние до Марса на основе его параллакса. Сверив часы, вы встаете в двух точках на земной поверхности, находящихся на расстоянии 1000 километров друг от друга. Линия между

26

2. От дневного и ночного неба к орбитам планет вами перпендикулярна линии между Марсом и центром Земли. В один и тот же момент каждый из вас измеряет угловое положение Марса на фоне звезд. Оказывается, результаты отличаются на 2 угловые секунды. Каково расстояние от Земли до Марса в этот момент? Ответ выразите в километрах.

Подсказка: здесь под «параллаксом» понимается явление, согласно которо-

му угол, под которым мы видим далекое тело, зависит от нашего положения.

Это понятие шире обычного термина «параллакс», которым (в узком смысле) обозначают видимое изменение положения звезд, вызванное движением

Земли по орбите вокруг Солнца.

18. Расстояние до Луны

Вы с приятелем решаете измерить расстояние до Луны на основе ее параллакса. Здесь мы говорим не о том параллаксе, который объясняется движением Земли вокруг Солнца, а о том, который наблюдается из двух разных точек на Земле. Сверив часы, вы встаете в двух точках на земной поверхности на расстоянии 200 километров друг от друга. Линия между вами перпендикулярна линии между Луной и центром Земли. В один и тот же момент каждый из вас измеряет угловое положение определенной точки на краю лунного диска на фоне звезд. На сколько будут различаться результаты измерений? Ответ выразите в угловых секундах.

19. Массы и плотности в Солнечной системе

В астрономии наблюдается поистине колоссальный диапазон плотностей различных объектов. В этой задаче мы изучим часть диапазона плотностей.

19. а Масса Солнца больше массы Земли примерно в 3 105 раза, а масса Земли примерно равна 6 1024 килограммов. Наблюдаемый диск

Солнца занимает в небе примерно полградуса. Расстояние от Земли до Солнца равно 1 астрономической единице (а. е.), то есть, примерно 1,5 108 ки-

27

ЧАСТЬ I. Звезды, планеты, жизнь лометра. На основании этих данных вычислите радиус Солнца и его плотность в единицах плотности воды (которая составляет 1000 килограммов на кубический метр). Подсказка: все необходимые числа даны в условии.

Постарайтесь при вычислениях обойтись без калькулятора: требуется при-

близительный ответ.

19. b Радиус орбиты Нептуна, самой дальней от Солнца планеты, составляет примерно 30 а. е. Какова средняя плотность Солнечной системы в этом радиусе? То есть, если взять всю массу Солнечной системы и равномерно распределить по сфере радиусом 30 а. е., какой окажется ее плотность?

Массу планет считаем пренебрежимо малой по сравнению с массой Солнца

(см. также часть d).

19. с Считается, что самые далекие кометы происходят из сферического облака (облака Оорта, названного в честь Яна Оорта (1900–1992), который выдвинул гипотезу о существовании этого облака) с центром в

Солнце и радиусом около 1 светового года. Можно считать, что это и есть настоящая внешняя граница Солнечной системы. Вычислите среднюю плотность Солнечной системы в пределах сферы с таким радиусом. Общая масса комет в облаке Оорта, по оценкам, всего в несколько раз больше массы