Добро пожаловать во Вселенную - [4]

к скорости света с, и мы запишем их скорость в виде, скажем, v = 0,999999999999 с. Естественно, у вас возникнет соблазн округлить это число до с, однако, как мы увидим, физически значимая величина (причем именно та величина, которую мы на самом деле измеряем, то есть интересующее нас число) представляет собой разницу между с и реальной скоростью v (то есть 10–12 с в нашем примере), которую мы на самом деле знаем с точностью до одной значащей цифры. В формулировках задач, где возникают подобные вопросы, мы дадим соответствующие подсказки.

12

Немного математики

АЛГЕБРА И АРИФМЕТИКА

Хотя в школе изучают сначала арифметику, а уже потом алгебру, зачастую арифметика труднее алгебры. Когда вы будете решать эти задачи, полезно придерживаться общего правила: сначала как можно сильнее упрощать выражения при помощи алгебраических приемов и лишь потом производить арифметические вычисления. Приведем пример, который встретится в одной из задач. Нужно найти отношение корней четвертой степени из светимостей двух звезд, которые составляют соответственно 3,2 1027 и 2 1026 Дж/с: (3,2×10 Дж/с)1/4

27

(

.

2×10 Дж/с)1/4

26

В этот момент у вас возникнет соблазн достать калькулятор и узнать, что

(3,2 1027 Дж/с)1/4 = 7,52 106 (Дж/с)1/4;

(2 1026 Дж/с)1/4 = 3,76 106 (Дж/с)1/4.

После чего вычислить отношение, все это время не находя себе места от страха, что вы делаете что-то не то со значащими цифрами, и не понимая, что означает странное выражение (Дж/с)1/4. Однако жизнь заметно упростится, если понимать, что отношение степеней — это степень отношения, то есть можно записать выражение в виде

1/4

27

⎛ 3,2×10 Дж/с ⎞

1/4

= 16 = 2.

⎜

26

⎝ 2 10 Дж/с ⎟

×

⎠

Мам, смотри, как я могу без калькулятора! И размерности тоже сократились! Среди наших задач будет очень много таких, которые легко решаются с помощью подобных фокусов.

В задачах часто бывает нужно вычислить отношения пропорциональных величин. Предположим, в задаче говорится о двух звездах с одинаковой температурой поверхности, но радиус звезды А в два раза больше радиуса звезды В и мы просим вас вычислить отношение их светимостей. Из книги

13

Немного математики

«Большое космическое путешествие» вы узнаете, что при фиксированной температуре светимость звезды L пропорциональна квадрату ее радиуса R: 2

L ∝ R ,

где символ ן означает «пропорциональна». То есть это означает, что существует некая постоянная С, такая, что

L = СR 2.

На основании этого найдем отношение двух светимостей: 2

2

2

L

CR

R

⎛ R ⎞

A

A

A

A

=

=

=

.

2

2

L

CR

R

⎜ R ⎟

B

B

B

⎝ B ⎠

Обратите внимание, что постоянная С здесь сокращается, нам не нужно ее знать. Но если обозначить эту постоянную как С, это даст нам возможность не забыть, что значит пропорциональность. Также обратите внимание на уже знакомый прием: мы превращаем отношение квадратов в квадрат отношения.

Нам уже сказали, что R / R = 2, так что вычисления очень просты: отношение

A B

светимостей равно квадрату указанной величины, то есть 4.

Часть I

ЗВЕЗДЫ, ПЛАНЕТЫ, ЖИЗНЬ

1

РАЗМЕР И МАСШТАБЫ ВСЕЛЕННОЙ

1. Экспоненциальное представление чисел. Обзор

Запишите следующие числа в экспоненциальном представлении, соблюдая нужное количество значащих цифр.

1. a Тридцать один миллион семьсот тысяч

1. b (число пи), умноженное на 0,2

1. c Одна четверть

1. d Один нанометр (в метрах)

2. Сколько длится год?

Вычислите число секунд в году с точностью до двух значащих цифр.

3. Насколько быстро распространяется свет?

Скорость света составляет 3,0 108 метров в секунду. Какова скорость света в километрах в год?

4. Угловые секунды в радиане

Вычислите, сколько угловых секунд в радиане, с точностью до одной значащей цифры. С этим числом мы будем сталкиваться в нашем задачнике

17

ЧАСТЬ I. Звезды, планеты, жизнь постоянно. Подсказка: вспомните, сколько градусов и сколько радианов в полном круге.

5. Парсек — это далеко?

Парсек — это расстояние, на котором находилась бы звезда, если бы она обладала параллаксом в 1 угловую секунду за счет движения Земли вокруг Солнца. Вычислите, сколько составляет 1 парсек в астрономических единицах (а. е.) и в световых годах. Подсказка: вспомните, что по традиции параллакс определяется как половина угла, на который меняется положениезвезды, когда Земля перемещается с одной стороны своей орбиты вокруг

Солнца на другую.

6. Дальше в космос — глубже в прошлое

Скорость света составляет 3,0 105 км/с. Расстояние между Землей и

Солнцем (1 астрономическая единица, а. е.) — 150 миллионов километров.

Все ответы должны содержать правильное количество значащих цифр.

6. a Вы смотрите на свою подругу, которая стоит в 30 футах (10 метрах) от вас. Насколько далеко в прошлом вы ее видите? Ответ выразите в наносекундах. Свет, который доходит от вашей подруги и попадает в ваши глаза, — это обычный дневной свет, который от нее отражается.

6. b Инженеры-электронщики постоянно пытаются повысить скорость компьютерных микросхем. Чтобы компьютер проделывал больше операций в секунду, можно, в частности, просто сократить расстояние между компонентами, чтобы электрические цепи стали короче. Электроны, «текущие» от одного транзистора к другому в вашем компьютере, перемещаются со скоростью, близкой к скорости света. В современных микросхемах эти расстояния поразительно малы: в 2017 году они достигли 10 нанометров (сотая часть микрона). Сколько времени (в секундах) нужно электрону, чтобы «перетечь»