Добро пожаловать во Вселенную - [4]
12
Немного математики
АЛГЕБРА И АРИФМЕТИКА
Хотя в школе изучают сначала арифметику, а уже потом алгебру, зачастую арифметика труднее алгебры. Когда вы будете решать эти задачи, полезно придерживаться общего правила: сначала как можно сильнее упрощать выражения при помощи алгебраических приемов и лишь потом производить арифметические вычисления. Приведем пример, который встретится в одной из задач. Нужно найти отношение корней четвертой степени из светимостей двух звезд, которые составляют соответственно 3,2 1027 и 2 1026 Дж/с: (3,2×10 Дж/с)1/4
27
(
.
2×10 Дж/с)1/4
26
В этот момент у вас возникнет соблазн достать калькулятор и узнать, что
(3,2 1027 Дж/с)1/4 = 7,52 106 (Дж/с)1/4;
(2 1026 Дж/с)1/4 = 3,76 106 (Дж/с)1/4.
После чего вычислить отношение, все это время не находя себе места от страха, что вы делаете что-то не то со значащими цифрами, и не понимая, что означает странное выражение (Дж/с)1/4. Однако жизнь заметно упростится, если понимать, что отношение степеней — это степень отношения, то есть можно записать выражение в виде
1/4
27
⎛ 3,2×10 Дж/с ⎞
1/4
= 16 = 2.
⎜
26
⎝ 2 10 Дж/с ⎟
×
⎠
Мам, смотри, как я могу без калькулятора! И размерности тоже сократились! Среди наших задач будет очень много таких, которые легко решаются с помощью подобных фокусов.
В задачах часто бывает нужно вычислить отношения пропорциональных величин. Предположим, в задаче говорится о двух звездах с одинаковой температурой поверхности, но радиус звезды А в два раза больше радиуса звезды В и мы просим вас вычислить отношение их светимостей. Из книги
13
Немного математики
«Большое космическое путешествие» вы узнаете, что при фиксированной температуре светимость звезды L пропорциональна квадрату ее радиуса R: 2
L ∝ R ,
где символ ן означает «пропорциональна». То есть это означает, что существует некая постоянная С, такая, что
L = СR 2.
На основании этого найдем отношение двух светимостей: 2
2
2
L
CR
R
⎛ R ⎞
A
A
A
A
=
=
=
.
2
2
L
CR
R
⎜ R ⎟
B
B
B
⎝ B ⎠
Обратите внимание, что постоянная С здесь сокращается, нам не нужно ее знать. Но если обозначить эту постоянную как С, это даст нам возможность не забыть, что значит пропорциональность. Также обратите внимание на уже знакомый прием: мы превращаем отношение квадратов в квадрат отношения.
Нам уже сказали, что R / R = 2, так что вычисления очень просты: отношение
A B
светимостей равно квадрату указанной величины, то есть 4.
Часть I
ЗВЕЗДЫ, ПЛАНЕТЫ, ЖИЗНЬ
1
РАЗМЕР И МАСШТАБЫ ВСЕЛЕННОЙ
1. Экспоненциальное представление чисел. Обзор
Запишите следующие числа в экспоненциальном представлении, соблюдая нужное количество значащих цифр.
1. a Тридцать один миллион семьсот тысяч
1. b (число пи), умноженное на 0,2
1. c Одна четверть
1. d Один нанометр (в метрах)
2. Сколько длится год?
Вычислите число секунд в году с точностью до двух значащих цифр.
3. Насколько быстро распространяется свет?
Скорость света составляет 3,0 108 метров в секунду. Какова скорость света в километрах в год?
4. Угловые секунды в радиане
Вычислите, сколько угловых секунд в радиане, с точностью до одной значащей цифры. С этим числом мы будем сталкиваться в нашем задачнике
17
ЧАСТЬ I. Звезды, планеты, жизнь постоянно. Подсказка: вспомните, сколько градусов и сколько радианов в полном круге.
5. Парсек — это далеко?
Парсек — это расстояние, на котором находилась бы звезда, если бы она обладала параллаксом в 1 угловую секунду за счет движения Земли вокруг Солнца. Вычислите, сколько составляет 1 парсек в астрономических единицах (а. е.) и в световых годах. Подсказка: вспомните, что по традиции параллакс определяется как половина угла, на который меняется положениезвезды, когда Земля перемещается с одной стороны своей орбиты вокруг
Солнца на другую.
6. Дальше в космос — глубже в прошлое
Скорость света составляет 3,0 105 км/с. Расстояние между Землей и
Солнцем (1 астрономическая единица, а. е.) — 150 миллионов километров.
Все ответы должны содержать правильное количество значащих цифр.
6. a Вы смотрите на свою подругу, которая стоит в 30 футах (10 метрах) от вас. Насколько далеко в прошлом вы ее видите? Ответ выразите в наносекундах. Свет, который доходит от вашей подруги и попадает в ваши глаза, — это обычный дневной свет, который от нее отражается.
6. b Инженеры-электронщики постоянно пытаются повысить скорость компьютерных микросхем. Чтобы компьютер проделывал больше операций в секунду, можно, в частности, просто сократить расстояние между компонентами, чтобы электрические цепи стали короче. Электроны, «текущие» от одного транзистора к другому в вашем компьютере, перемещаются со скоростью, близкой к скорости света. В современных микросхемах эти расстояния поразительно малы: в 2017 году они достигли 10 нанометров (сотая часть микрона). Сколько времени (в секундах) нужно электрону, чтобы «перетечь»
