Дилемма заключенного и доминантные стратегии. Теория игр - [41]

Однако решение (1; 5,5; 5,5), которое кажется наиболее вероятным, нестабильно, так как компания А, не вступившая в альянс, может сделать предложение, например, компании Б, и обе получат выгоду, например (5, 6, 1). Теперь может вмешаться компания Б, которая предложит компании А уменьшить ее платеж в рамках альянса. С новым предложением также может выступить компания В. Это может происходить бесконечно. Сложно найти какое-то справедливое распределение, которое можно было бы считать решением игры.

Анализ игры для n игроков, проведенный фон Нейманом и Моргенштерном, показывает, что единственного оптимального решения не существует. Однако из анализа видно, что не всякое распределение может являться частью решения, поэтому нужно определить множество распределений, которые составят решение игры.

Для этого необходимо ввести понятие доминирования. Предполагается, что в описываемой игре за каждым предложением образовать альянс и разделить выигрыш следует новое предложение, причем новое распределение платежей будет не произвольным, а более оптимальным, чем предыдущее. Это означает, что должно присутствовать множество игроков, которые смогут сформировать новую коалицию, и соответствующее распределение платежей, при котором игроки получат строго большую выгоду, чем в прошлой коалиции.

Определив нужные понятия, мы можем сформулировать требования к множеству распределений, составляющих решение. Таких условий два.

1. Ни над каким распределением платежей, являющимся частью решения, не может доминировать другое распределение, которое также является частью этого решения.

2. Над любым распределением, которое не является частью решения, должно доминировать распределение, являющееся частью решения.

Фон Нейман и Моргенштерн считают, что при этих условиях предложенное решение, во-первых, не содержит внутренних противоречий, во-вторых, соответствует социально приемлемому поведению. Описанный метод можно применять с некоторыми ограничениями: так, игроки в любой момент времени должны одновременно и свободно обмениваться информацией.

Кооперативные игры, альянсы и распределения

Продолжим рассматривать игры для n игроков и проанализируем более сложные задачи. Предполагается, что игроки могут общаться между собой и заключать соглашения до начала игры. Как и раньше, наша цель — определить возможные коалиции и понять, при каких условиях достигается такое распределение выгоды, при котором все участники удовлетворены и хотят остаться в коалиции.

Пример 1

Три предпринимателя, Анна (А), Борис (Б) и Василий (В), заключили удачную сделку, и им нужно распределить полученную прибыль — 200000 евро. Они решают разделить деньги простым большинством: каждая персона имеет один голос, никаких других ограничений не накладывается. Существует четыре возможных коалиции, которые могут получить большинство: АБВ, АБ, АВ и БВ. Однако внутри каждой коалиции прибыль может быть распределена множеством способов.

Анна предлагает разделить деньги так: А = 68 000 евро, Б = 66 000 евро, В = 66 000 евро. Борис предлагает по-другому: А = 60 000 евро, Б = 70 000 евро, В = 70 000 евро. Этот вариант больше устраивает и Бориса, и Василия, который предлагает третий вариант: А = 70 000 евро, Б = 0 и В = 130000 евро. Этот вариант выгоднее не только для Василия, но и для Анны. Как и в примере из прошлого раздела, игроки могут выдвигать новые предложения снова и снова, и непохоже, чтобы существовала коалиция, выгодная для всех троих. Точки равновесия не существует, поскольку для любого предложения может последовать новое, которое будет более выгодным для каждого игрока в новой коалиции.

В кооперативных играх решением называется альянс и соответствующее распределение платежей, которые будут стабильны, то есть будут гарантировать согласие всех членов коалиции.

Пример 2

Допустим, что в прошлом примере предприниматели решили разделить прибыль согласно сделанным вложениям. Таким образом, Анна имеет 5 голосов, Борис — 3, Василий — 1 голос. Теперь большинство могут получить следующие коалиции: АБВ, АБ, АВ, А.

Анна имеет большинство, поэтому она может присвоить все деньги себе: А = 200000 евро, Б = 0 и В = 0. Распределение будет несправедливым, но стабильным. Анна согласна с таким решением, а образовать альянс без нее невозможно. Следовательно, приведенное решение удовлетворяет всем необходимым условиям, которые мы определили выше.

В подобных играх ценой игры называется платеж, который гарантирован каждому игроку, если тот будет действовать рационально, и не зависит от решений остальных участников. В примере 1 никому из них не гарантирована какая-либо сумма. Следовательно, ценой игры будет А = 0, Б = 0 и В = 0. Напротив, во втором примере ценой игры будет А = 200 000, Б = 0 и В = 0.

Пример 3

Усложним ситуацию еще больше, чтобы сделать ее более реальной. По результатам выборов 81 кресло в парламенте было распределено между пятью партиями следующим образом: А = 33, Б = 24, В = 15, Г = 6, Д = 3. Ни одна из партий не имеет абсолютного большинства (41 кресло), и для формирования правительства необходимо образовать коалицию. Эта коалиция займется распределением бюджетов и установит нужные обязанности. Партии имеют схожую идеологию, и предполагается, что мера ответственности определяется подконтрольным бюджетом. Кроме того, предполагается, что никто не будет нарушать процедуру голосования.