Десять великих идей науки. Как устроен наш мир. - [150]

цифру, замена жирных цифр, например, даст нам новое число 0,134 903…. Этого числа определенно нет в списке, поскольку оно отличается от первого числа, оно отличается от второго числа и так далее. Отсюда следует, что количество действительных чисел (рациональные вместе с иррациональными) больше, чем количество натуральных чисел, потому что, как бы ни был длинен список, мы всегда можем построить число, которого в нем нет. Мы говорим, что действительные числа несчетны.

Давайте посмотрим на это заключение немного более пристально. Мы только что видели, что действительные числа (натуральные числа плюс рациональные числа и иррациональные числа) являются несчетными. Однако мы видели, что натуральные числа, рациональные числа и алгебраические числа все счетны. Мы можем сделать вывод, что числа, которые делают действительные числа несчетными, все являются трансцендентными (такими, как π и e).

Сделаем паузу, чтобы осознать значение этого необычного вывода. Он означает, что огромное большинство чисел — на самом деле, бесконечно преобладающее большинство — являются трансцендентными. Это весьма удивительно, особенно потому, что трансцендентные числа гораздо менее нам знакомы, чем «обычные» числа, и вы даже могли никогда о них раньше не слышать. Тот факт, что трансцендентные числа в преобладающей степени более многочисленны, чем другие виды чисел, явился основанием для моего замечания в начале главы, что удивительным является то, что мы вообще можем считать: натуральные числа крайне редко распределены среди действительных чисел, и каждое из них окружено бесконечностью трансцендентных чисел. Эдвард Темпл Белл выразил это графически, когда написал

Алгебраические числа [включающие натуральные числа] разбросаны по плоскости как звезды по черному небу; плотная чернота является небом трансцендентности.

Кантор обозначил мощность — полное количество — натуральных чисел буквой древнееврейского алфавита N₀ (алеф-ноль), первым из ряда трансфинитных чисел N₀, N₁, N₂, …  расположенных в порядке возрастания. Мы можем представлять себе N₀ как наименьшую версию бесконечности, N₁ как следующую, большую версию, и так далее. Вопрос, с которым столкнулся Кантор, заключается в том, является ли мощность действительных чисел, которая, как мы видели, больше, чем мощность натуральных чисел, равной N₁, или она равна более высокому трансфинитному числу. Знаменитая континуум-гипотеза состоит в том, что мощность действительных чисел — число точек на прямой — равна N₁ первому после N₀ количественному числу, а не N₅, например, или какому-нибудь другому трансфинитному числу. Как рассказывают, Кантор почти сошел с ума от своих непрерывных, но разочаровывающих попыток доказать континуум-гипотезу. Доживи он до 1963 г., он понял бы причину своего разочарования или, по крайней мере, ему бы ее продемонстрировали, так как в этом году американский логик Пауль Коэн (р. 1934) показал, что эта задача неразрешима: невозможно доказать истинность или ложность континуум-гипотезы, и мощность действительных чисел может быть любой из величин N₁, N₂, …, а возможно, и всеми ими.

Мы споткнулись об еще одну подозрительную и нервирующую черту математики: из нее выходит пар, когда она имеет дело с бесконечностью, так же как, возможно, в ее котлах нет пара при столкновении с предположением Гольдбаха (о возможности выразить любое четное число суммой двух простых чисел). И у нас в голове начинает свербить вопрос: а не трещит ли математика по швам от всего этого, не теряет ли она всю мощь своего авторитета, если на нее посильнее нажать? Существуют ли еще и другие вопросы, подобные континуум-гипотезе, в ответ на которые она лишь оглушенно молчит? И так же, как, по утверждению ультрафинитистов, натуральные числа выдыхаются по пути в бесконечность, не выдыхается ли и сама математика в некоторых областях своих доводов, и не имеет ли она слепых пятен в других областях?

Прежде чем перейти к суждению о том, не являются ли белые одежды математики на самом деле поношенными и расползающимися, стоит сделать еще несколько замечаний об умозаключениях Кантора, пусть даже они могут подтолкнуть нас совсем близко к краю безумия. Во-первых, следствием несчетности действительных чисел является то, что количество точек на отрезке линии любой длины невозможно сосчитать. Однако мы можем быть уверены, что, какова бы ни была длина отрезка линии, она состоит из одного и того же числа точек, каково бы ни было это число. Таким образом, число точек на отрезке линии длиной в миллиметр таково же, как и число точек на отрезке линии, простирающемся отсюда до следующей галактики. А как насчет числа точек на плоскости? С помощью изящных аргументов Кантор смог показать, что каждая точка плоской области может быть поставлена во взаимно однозначное соответствие с каждой точкой отрезка линии, безотносительно к площади области и длины отрезка. Поэтому число точек в плоской области любой площади — на почтовой марке или в Австралии — такое же, как и число точек на отрезке линии любой длины — в нанометр или километр, — и оба числа равны числу действительных чисел. То же самое верно для объема любой размерности: в кубе столько же точек, сколько в десятимерном гиперкубе любого размера и в отрезке линии любой длины. Поэтому, как ни удивительно, на сфере размером с Землю столь же много точек, сколь на отрезке линии длиной в 1 см. Возможно, вы начинаете понимать, почему Кронекера так выводили из равновесия перспективы математики, вступающей в ту область, которую Гильберт назвал «раем Кантора» и теперь, если только мы не примем специальных мер, бесконечность становится предательской трясиной, засасывающей разум.