Четыре дамы и молодой человек в вакууме. Нестандартные задачи обо всем на свете - [76]
Первый вариант. Так как путешествие происходит на небольших (по сравнению с размерами Земли) расстояниях, можно считать, что оно происходит на плоскости. Пусть, пройдя по меридиану на север 100 км, человек очутился в х км от полюса. Пройдя 100 км на восток по части окружности с радиусом х, человек далее пошел на юг по меридиану, составляющему угол α от первоначального. Пройдя 100 км, он очутился ровно в 100 км от исходной точки. Причем эти 100 км можно отсчитывать как по дуге параллели, так и по «прямой» – различие на таких малых расстояниях будет ничтожным.
Второй вариант. Начало такое же, но, очутившись на этот раз ближе к полюсу (расстояние от него обозначим также через х), человек, пройдя на восток 100 км, обойдет вокруг полюса, пересечет свой след и пройдет по дуге окружности радиуса х еще какое-то расстояние (такое же, какое он не дошел до своего следа в предыдущем случае). Далее, свернув на юг и пройдя 100 км, он очутится в 100 км от исходной точки.
Математически решение для второго случая немного проще. Поэтому рассмотрим именно его. Итак, идя на восток, человек проходит полную окружность радиуса х (ее длина равна 2πх), а затем еще немного по дуге длиной αх, всего – 100 км. То есть 2πх + αх = 100, откуда α = (100–2πх)/х. Далее, пройдя 100 км на юг, человек окажется на расстоянии 100 + х км от полюса и на расстоянии 100 км от исходной точки. Последнее расстояние (по дуге большой окружности) равно α(100 + х).
Итак, получаем уравнение α(100 + х) = 100. Подставляя в него полученное ранее значение α и решая простое квадратное (относительно х) уравнение: πх>2 + 100πх – 5000 = 0, получаем: х = 14. Итак, исходная точка находится в 114 км от Северного полюса. В первом случае решение аналогично (немного сложнее квадратное уравнение), а х = 71,6 км, т. е. исходная точка находится в 171,6 км от полюса.
Понятно, что таких точек не две. Ведь можно пройти вокруг полюса не один круг (неполный или «с избытком»), а два, три… Это теоретически. Ну а практически – мы уже пришли к выводу, что любым число кругов быть не может.
Эту задачу можно усложнить, если вместо земного шара взять планету меньших размеров или увеличить на Земле расстояние со 100 до нескольких тысяч километров. Тогда уже надо рассматривать движение не на плоскости, а по поверхности шара, и в этом случае задача из чисто «интеллектуальной» превращается скорее в олимпиадную и потому здесь не рассматривается. Ее можно предлагать интересующимся старшеклассникам как интересную задачу по стереометрии.
г) Задача аналогична предыдущей; правильный ответ – в 50 км севернее экватора и в Антарктиде. И ответ на дополнительный вопрос: путешественник будет приближаться к Северному полюсу по спирали.
Вообще-то Земля круглая, но это только если идти с компасом.
Если идти на северо-запад, то придешь в Британию или Голландию – в любом случае в Европу.
Если идти на северо-запад, то придешь на юго-восток, а если обогнуть Землю, то опять придешь на северо-запад, но если обогнуть только половину Земли, то все же придешь на юго-восток.
Сначала придешь на Северный полюс, а если от него идти на северо-запад…
Это смотря откуда идти…
Начнем с широты. Она отсчитывается от экватора. Известно, что 1° широты равен 111 км (расстояние от экватора до полюса равно приблизительно 10 000 км, что соответствует 90°, таким образом получаем 10 000/90 ≈ 111). Следовательно, 1’’ меридиана соответствует 10 000/(90 ∙ 60 ∙ 60) ≈ 0,03 км = 30 м. Долгота отсчитывается от нулевого (Гринвичского) меридиана. Длина дуги параллели, соответствующая 1° долготы, конечно, зависит от широты: на полюсе она равна нулю, а на экваторе – тем же 111 км. Поскольку широта Москвы близка к 60°, из простых геометрических соображений (нужно рассмотреть прямоугольный треугольник с углами 30 и 60°) получаем, что длина окружности московской параллели в два раза меньше длины экватора. Следовательно, и 1’’ широты будет равна примерно 30/2 = 15 м. Таким образом, максимальное расстояние между отметками не превосходит
Сейчас бронзовый знак нулевого километра автодорог Российской Федерации находится перед Воскресенскими воротами, между Историческим музеем и Музеем Отечественной войны 1812 года.
Для здания обсерватории координаты указаны слишком точно. Задача похожа на предыдущую: 1’’ меридиана соответствует 30 м, а 0,1’’ – 3 м. Долгота отсчитывается от нулевого (Гринвичского) меридиана в градусах или в часах, минутах и т. д. Поскольку Земля совершает один оборот (360°) за 24 часа, то один час соответствует 15°, одна минута – 15’ и одна секунда – 15’’. Легко подсчитать, что на экваторе 0,1 секунды соответствует примерно 15 ∙ 3 = 45 м, а в средних широтах – примерно вдвое меньше. Итак, точность указания координат значительно выше, чем размеры обсерватории. В условии приведены координаты одного из приборов Парижской обсерватории, который предназначен для измерения координат светил.
В большинстве стран Европы, в том числе Испании и Норвегии, для удобства введено единое центральноевропейское (или среднеевропейское) время, которое на один час отличается от времени в Великобритании. Теоретически, в соответствии с географическим расположением, время в Испании должно было бы отличаться от времени на востоке Норвегии на два часа.
