Большой роман о математике. История мира через призму математики - [9]
С теоретической точки зрения этот способ безупречен, но вот на практике пользоваться им крайне неудобно. Представьте, как землемеры выходят на поле и начинают расчерчивать две окружности каждый раз, когда им требуется разметить прямой угол или проверить точность уже размеченных перпендикулярных линий. Такой способ оказывается на деле небыстрым и неэффективным.
Однако был и более практичный метод, который активно использовали землемеры: образование треугольника с прямым углом, используя саму веревку. Такой треугольник получил название прямоугольный треугольник. И самый распространенный среди них – со сторонами 3–4–5! Если вы возьмете веревку, разделенную на двенадцать частей тринадцатью узлами, вы сможете образовать треугольник со сторонами в 3, 4 и 5 интервалов соответственно. И магическим образом угол, образованный сторонами в 3 и 4 интервала, будет прямым.
За 4000 лет до этого жители Вавилона уже разработали специальные таблицы, позволяющие делать прямоугольные треугольники. Табличка «Плимптон 322», которая в настоящее время хранится в коллекции Колумбийского университета в Нью-Йорке, была создана приблизительно в 1800 г. до н. э. и представляет собой таблицу из пятнадцати комбинаций таких чисел. Помимо 3–4–5 там приводятся еще четырнадцать комбинаций, среди которых такие сложные, как 65–72–97 и даже 1679–2400–2929. За исключением нескольких незначительных опечаток, ставших следствием ошибки в расчетах или неправильного переписывания, треугольники из Плимптонской таблицы абсолютно правильные: в каждом из них есть прямой угол!
Сложно точно сказать, с какого момента вавилонские землемеры начали использовать свои познания об определении прямого угла на земле. В любом случае эти знания нашли свое применение много лет спустя исчезновения шумерской цивилизации. В Средние века веревка с тринадцатью узлами, также известная как веревка друидов, повсеместно использовалась при строительстве соборов.
Путешествуя по истории математики, часто отмечают, что ряд похожих выводов был сделан одновременно и независимо друг от друга в разных концах нашей планеты учеными, жившими за тысячи километров друг от друга в совершенно разных обществах. Удивительно странным совпадением является то, что в китайской цивилизации I в. до н. э. были сделаны открытия в области математики, очень схожие с аналогичными открытиями этого времени цивилизаций Древнего Вавилона, Египта и Греции.
Спустя столетия, приблизительно 2000 лет назад, во времена правления династии Хань, эти открытия собрали собраны воедино в одном из первых в истории произведений, посвященных исследованиям в области математики, под названием «Математика в девяти книгах».
Первая книга полностью посвящена методам измерения земельных участков различной формы. Прямоугольные, треугольные, трапециевидные, круглые, в форме полукруга или кольца – процедуры измерения полей всех этих форм подробно описаны в данной работе. Далее в этом произведении мы обнаруживаем, что девятая книга посвящена исследованию прямоугольных треугольников. Попробуйте догадаться, как звучит первая строчка этой книги. 3–4–5!
Таковы великие идеи. Они возникают в различных культурах и начинают активно произрастать на благодатной почве пытливых умов, стремящихся к новым знаниям.
Назовем несколько проблем того времени.
Многочисленные вопросы изменения полей, строительства зданий и сооружений, иначе говоря, землепользования, вставали перед учеными Античности. Вот несколько примеров.
Следующая задача из вавилонской таблицы BM 85200 свидетельствует о том, что люди не только изображали геометрический план, но и руководствовались непосредственным видом местности.
Пещера. При условии что длина: глубина. 1, земля, я отнял. Моя часть и оставшаяся земля 1’10. Длина и ширина, ’50. Длина, ширина, сколько?[2]
Вы уже, наверное, поняли, что стиль письма математиков Вавилона чем-то схож с телеграфным. Так, эту же задачу можно переформулировать следующим образом:
Глубина пещеры в двенадцать раз больше ее длины.[3]Если сделать пещеру глубже, таким образом, что она станет на единицу глубже, ее объем будет равен 716. Если сложить длину и ширину, получится 5/6.[4]Определите размеры длины, глубины и ширины пещеры.
Задача сопровождается подробным решением, в результате чего получаются следующие ответы: длина – 1/2, ширина – 1/3, глубина – 6.
Перенесемся теперь в долину р. Нил. И конечно же, речь пойдет о пирамидах. Следующая загадка обнаружена на известном папирусе под авторством Ахмеса приблизительно XVI в. до н. э.
Сторона основания пирамиды составляет 140 локтей, наклон[5]– 5 ладоней и 1 палец, какова высота пирамиды?
Локоть, ладонь и палец равны соответственно 52,5 см, 7,5 см и 1,88 см. Ахмес приводит решение: 93 локтя 1/3. В этом же папирусе переписчик также приводит задачу с окружностью.
Диаметр окружности – 9 кхет. Какова площадь круга?
Кхет – это также мера величины, равная приблизительно 52,5 метра. Чтобы разрешить эту задачу, Ахмес утверждает, что площадь такого круглого поля равна площади квадратного поля со стороной 8 кхет. Такое соответствие очень удобно, т. к. намного проще рассчитать площадь квадрата, чем круга. Таким образом, площадь квадрата составит 8 × 8 = 64. Последователи Ахмеса, однако, обнаружили, что полученный им результат не совсем точен. Площадь круга и квадрата не полностью соответствуют друг другу. Многие в дальнейшем – напрасно и вместе с тем целенаправленно – прилагали усилия, пытаясь ответить на вопрос: как начертить квадрат, площадь которого соответствует площади круга. Ахмес, не осознавая этого, сделал первую попытку ответить на вопрос, над которым ломали голову многие математики: определение квадратуры круга!
