Большой роман о математике. История мира через призму математики - [11]

Подобные конструкции применимы и для других геометрических фигур. Так, число называется треугольным, если оно может быть представлено в виде… треугольника. Первые треугольные числа: 1, 3, 6 и 10.

Последний из изображенных треугольник, состоящий из десяти точек, есть не что иное, как тетрактис, который Пифагор и его последователи считали символом космической гармонии. Аналогичным образом выделяются квадратные числа, среди которых первыми являются 1, 4, 9, 16.

Можно продолжать выделять соответствие между числами и фигурами. Геометрические изображения чисел позволили сделать наглядными определенные их свойства, которые ранее казались непостижимыми.

Например, вы никогда не пробовали сложить подряд идущие нечетные числа, один за другим: 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + …? Нет? Тогда попробуйте, и вы заметите удивительную закономерность:

Вы обратили внимание на особенность получившегося ряда чисел? Последовательно идущие числа: 1, 4, 9, 16… Это же квадратные числа!

И вы можете еще долго выстраивать этот ряд – закономерность будет всегда верной. Попробуйте сложить нечетные числа от 1 до 19, и, если у вас хватит терпения, вы обнаружите, что получившееся число 100 – это десятое по счету квадратное число:

1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 = 10 × 10 = 100.

Удивительно, не правда ли? Но почему это именно так? Как удивительным образом получается именно такая закономерность? Можно доказать ее, используя только числа. Но есть способ еще проще. С помощью геометрического рисунка достаточно изобразить квадратные числа, как это показано ниже, и все становится очевидным.

Каждая последующая линия добавляет нечетное число шаров и тем самым увеличивает на одну единицу сторону получившегося квадрата. Доказательство просто и ясно.

Таким образом, геометрия занимала главенствующее положение в математике, и ни одна гипотеза не могла быть подтверждена без соответствующего геометрического доказательства. Гегемония геометрии продлилась намного дольше, чем сама эпоха Античности и существование греческой цивилизации. Пройдет почти две тысячи лет, прежде чем в эпоху Возрождения ученые начнут активно развивать новое направление математики, в результате чего геометрия уступит свое место новому языку: языку алгебры.

4 Время теорем

На дворе начало мая. Около двенадцати часов дня, и Солнце находится в зените над парком Ла-Виллет на севере Парижа. Прямо передо мной расположился Городок науки и техники, на входе в который находится «Жеод». Этот необычный кинотеатр, построенный в середине 1980-х, выглядит как гигантский зеркальный шар диаметром тридцать шесть метров.

Кинотеатр привлекает многочисленных туристов с фотоаппаратами в руках, которые пришли посмотреть на необычную достопримечательность Парижа. Целые семьи прогуливаются здесь в эту среду. Влюбленные пары сидят в тени деревьев и гуляют, держась за руки. Тут и там бегущие по парку люди разрезают своим движением толпы людей, которые расступаются в разные стороны, и в спешке бросают взгляд на эту необычную зеркальную сферу. Вокруг дети с интересом рассматривают искаженное изображение окружающего их мира.

Меня же интересуют в первую очередь геометрические параметры данного сооружения. Я подхожу ближе, чтобы рассмотреть его. Поверхность сферы состоит их тысяч треугольных зеркал, связанных между собой. На первый взгляд может показаться, что все элементы идеально соединены друг с другом. Но уже спустя несколько минут многочисленные отклонения становятся заметными. Вокруг некоторых точек вблизи становится очевидным, что примыкающие к ним треугольники отличаются по форме от остальных. В то время как практически все треугольники сгруппированы по шесть вокруг одной точки, есть приблизительно дюжина точек, вокруг которых находится только пять треугольников.

Изображение «Жеода» и тысяч составляющих его треугольников. Точки, вокруг которых расположено только пять треугольников, выделены темно-серым

Эти отклонения практически незаметны на первый взгляд. Большинство людей не обращают на них внимания, но вот для меня как математика в этом нет ничего удивительного. Я скажу даже более, я ожидал их найти! Архитектор не допустил ошибки – в мире существует множество других строений аналогичной конфигурации, где возле около дюжины точек группируются по пять элементов, в отличие от шести во всех остальных случаях. Эти точки являются результатом важных геометрических открытий, сделанных более чем две тысячи лет назад древнегреческими математиками.

Теэтет Афинский – древнегреческий математик, живший в IV в. до н. э., – разработал теорию правильных многогранников. В геометрии многогранник – это фигура, объем которой ограничен плоскими гранями. Так, куб и пирамида – это примеры многогранников. Шар и цилиндр, в отличие от многогранников, имеют округлую поверхность. «Жеод», состоящий из треугольников, также является гигантским многогранником, несмотря на то, что из-за большого количества элементов выглядит похожим на сферу.

Теэтет изучал также абсолютно симметричные многогранники, т. е. объемные фигуры с одинаковыми гранями. В результате его исследований был сделан неожиданный вывод: всего существует пять таких многогранников. Только пять! И не более.