Большая Советская Энциклопедия (ФУ) - [35]

(1753). В основе решения Бернулли лежало утверждение о возможности разложить любую Ф. в тригонометрический ряд. Возражая против этого, Эйлер указал на то, что подобная разложимость доставляла бы для любой Ф. аналитическое выражение, в то время как Ф. может и не иметь его (она может быть задана графиком, «начертанным свободным движением руки»). Эта критика убедительна и с современной точки зрения, ибо не все Ф. допускают аналитическое изображение (правда, у Бернулли речь идёт о непрерывной Ф., которая всегда аналитически изобразима, но она может и не разлагаться в тригонометрический ряд). Однако другие аргументы Эйлера уже ошибочны. Например, Эйлер считал, что разложение Ф. в тригонометрический ряд доставляет для неё единое аналитическое выражение, в то время как она может быть «смешанной» Ф., представимой на разных отрезках разными формулами. На самом деле одно другому не противоречит, но в ту эпоху казалось невозможным, чтобы два аналитических выражения, совпадая на части отрезка, не совпадали на всём его протяжении.

  Эти ошибочные взгляды мешали развитию теории тригонометрических рядов, и лишь в работах Ж. Фурье (1822) и П. Дирихле (1829) правильные по существу идеи Д. Бернулли получили дальнейшее развитие.

  С начала 19 в. уже всё чаще и чаще определяют понятие Ф. без упоминания об её аналитическом изображении. В руководстве французского математика С. Лакруа (1810) говорится: «Всякая величина, значение которой зависит от одной или многих других величин, называется функцией этих последних». В «Аналитической теории тепла» Ж. Фурье (1822) имеется фраза: «Функция fx обозначает функцию совершенно произвольную, т. е. последовательность данных значений, подчиненных или нет общему закону и соответствующих всем значениям x , содержащимся между 0 и какой-либо величиной X ». Близко к современному и определение Н. И. Лобачевского («Об исчезании тригонометрических строк», 1834):»... Общее понятие требует, чтобы функцией от x называть число, которое дается для каждого x и вместе с x постепенно изменяется. Значение функции может быть дано или аналитическим выражением, или условием, которое подает средство испытывать все числа и выбирать одно из них, или, наконец, зависимость может существовать и оставаться неизвестной». Там же немного ниже сказано: «Обширный взгляд теории допускает существование зависимости только в том смысле, чтобы числа одни с другими в связи, понимать как бы данными вместе». Т. о., современное определение Ф., свободное от упоминаний об аналитическом задании, обычно приписываемое Дирихле и высказанное в 1837, неоднократно предлагалось и до него.

  В заключение отметим следующее важное открытие, принадлежащее Д. Е. Меньшову : всякая конечная измеримая (по Лебегу) на отрезке Ф. (см. Измеримые функции ) разлагается в тригонометрический ряд, сходящийся к ней почти всюду. Т. к. обычно встречаемые Ф. измеримы, то можно сказать, что практически всякая Ф. изобразима аналитически с точностью до множества меры нуль.

  Лит.: Ильин В. А., Позняк Э. Г., Основы математического анализа, 3 изд., ч. 1—2, М., 1971—73; Кудрявцев Л. Д., Математический анализ, 2 изд., т. 1—2, М., 1973; Никольский С. М., Курс математического анализа, 2 изд., т. 1—2, М.,1975

  И. П. Натансон.

Рис. к ст. Функция.

Функция передачи модуляции

Фу'нкция переда'чи модуля'ции, то же, что и частотно-контрастная характеристика .

Функция распределения

Фу'нкция распределе'ния, основное понятие статистической физики ; характеризует плотность вероятности распределения частиц статистической системы по фазовому пространству (т. е. по координатам (q_i и импульсам p_i ) в классической статистической физике или вероятность распределения по квантовомеханическим состояниям в квантовой статистике.

  В классической статистической физике Ф. р. f (p , q , t ) определяет вероятность d w = f (p , q , t ) dp dq обнаружить систему из N частиц в момент времени t в элементе фазового объёма dpdq = dp₁ dq₁ ... dp_N ´dq_N вблизи точки p₁ , q₁ ,..., p_N , q_n . Учитывая, что перестановка тождественных (одинаковых) частиц не меняет состояния, следует уменьшить фазовый объём в N ! раз; кроме того, удобно перейти к безразмерному элементу (Базового объёма, заменив dpdq на dpdq/N ! h^3N , где Планка постояннаяh определяет минимальный размер ячейки в фазовом пространстве. См. также Гиббса распределение .

Функция (филос.)

Фу'нкция (от лат. functio — совершение, исполнение) (философская), отношение двух (группы) объектов, в котором изменение одного из них ведёт к изменению другого. Ф. может рассматриваться с точки зрения следствий (благоприятных, неблагоприятных — дисфункциональных или нейтральных — афункциональных), вызываемых изменением одного параметра в др. параметрах объекта (функциональность), или взаимосвязи отдельных частей в рамках некоторого целого (функционирование).

  Понятие Ф. введено в научный оборот Г. Лейбницем . В дальнейшем в философии интерес к Ф. как одной из фундаментальных категорий возрастал по мере распространения в различных областях науки функциональных методов исследования. В наиболее развёрнутой форме функциональный подход был реализован Э.