(
), состоящее из бесконечно дифференцируемых функций на
, каждая из которых финитна [т. е. равна нулю вне некоторого интервала (
а
,
b
)]; при этом
x>n x,
если
x>n
(
t
) равномерно финитны [т. е. (
а
,
b
) не зависит от
n
] и сходятся равномерно со всеми своими производными к соответствующим производным
x
(
t
).
Все эти пространства бесконечномерны, проще всего это видно для l>2
: векторы e>j
= {0,..., 0, 1, 0,...} линейно независимы.
С геометрической точки зрения наиболее простыми являются гильбертовы пространства Н
, свойства которых больше всего напоминают свойства конечномерных евклидовых пространств. В частности, два вектора x
, у
Î Н
называются ортогональными (x
^ y
), если (x
, у
) = 0. Для любого x
Î Н
существует его проекция на произвольное подпространство F
— линейное замкнутое подмножество Н
, т. е. такой вектор x>F
, что x
—x>F
^f
для любого f
Î F
. Благодаря этому факту большое количество геометрических конструкций, имеющих место в евклидовом пространстве, переносится на Н
, где они часто приобретают аналитический характер. Так, например, обычная процедура ортогонализации приводит к существованию в Н
ортонормированного базиса — последовательности векторов e>j
, j
Î
, из
Н
таких, что ||
e>j
|| = 1,
e>j
^
e>k
при
j
¹
k
, и для любого
x
Î
H
справедливо «покоординатное» разложение
x
= å
x>j
e>j
(1)
где x>j
= (x
, e>j
), ||x
|| = å
|
x>j
|
>2
(для простоты
Н
предполагается сепарабельным, т. е. в нём существует счётное всюду плотное множество). Если в качестве
Н
взять
L>2
(0, 2p) и положить
,
j
=...,—1, 0, 1..., то (1) даст разложение функции
x
(
t
) Î
L>2
(0, 2p) в ряд Фурье, сходящийся в среднем квадратичном. Кроме того, соотношение (1) показывает, что соответствие между
Н
и
l>2
'
{xj}
,
j
Î
гильбертовых пространств
H>j
— конструкция, подобная образованию
Н
одномерными подпространствами, описываемому формулой (1); факторизация и пополнение: на исходном линейном пространстве
Х
задаётся квазискалярное произведение [т. е. возможно равенство (
x
,
x
) = 0 для
x
¹ 0], часто весьма экзотического характера, и
Н
строится процедурой пополнения
Х
относительно (.,.) после предварительного отождествления с 0 векторов
x
, для которых (
x
,
x
) = 0; тензорное произведение
— образование его аналогично переходу от функций одной переменной
f
(
x>1
) к функциям многих переменных
f
(
x>1
,...,
x>q
); проективный предел
банаховых пространств — здесь
(грубо говоря), если
для каждого a; индуктивный предел
банаховых пространств
X>1
Ì
X>2
Ì..., здесь
, если все
x>j
, начиная с некоторого
j>0
, лежат в одном
X>j0
, и в нём
. Две последние процедуры обычно применяются для построения линейных топологических пространств. Таковы, например, ядерные пространства — проективный предел гильбертовых пространств
Н>a
, обладающих тем свойством, что для каждого a найдётся b такое, что
h>b
Ì
Н>a
, и это — т. н. вложение Гильберта — Шмидта [D (
) — пример ядерного пространства].
Разработан важный раздел Ф, а., в котором изучаются пространства с конической структурой «x
0» (полуупорядоченностью). Пример такого пространства — действительное
С
(
Т
), в нём считается
x 0, если
x
(
t
³)0 для всех
t
Î
T
.
3. Операторы (общие понятия). Функционалы.
Пусть X
, Y
— линейные пространства; отображение A
: X
® Y
называется линейным, если для x
, у
Î X
, l, m Î
,
где x>1
,..., x>n
и (Ax
)>1
,..., (Ax
) >n
— координаты векторов x
и Ax
соответственно. При переходе к бесконечномерным линейным топологическим пространствам положение значительно усложняется. Здесь прежде всего необходимо различать непрерывные и разрывные линейные операторы (для конечномерных пространств они всегда непрерывны). Так, действующий из пространства L>2
(а
, b
) в него же оператор
(2)
(где K
(t
, s
) — ограниченная функция — ядро А
) — непрерывен, в то время как определённый на подпространстве C>1
(a
, b
) Ì L>2
(a
, b
) оператор дифференцирования
(3)
является разрывным (вообще, характерной особенностью разрывных операторов является то, что они не определены на всём пространстве).
Непрерывный оператор A
: X
® Y
, где X
, Y
— банаховы пространства, характеризуется тем, что
,
поэтому его называют также ограниченным. Совокупность всех ограниченных операторов
(
X
,
Y
) относительно обычных алгебраических операций образует банахово пространство с нормой ||
A
||. Свойства
, если
для каждого
x
Î
X
], относительно которой шар, т. е. множество точек
x
Î
Х
таких, что ||
x
|| £
r
, уже будет компактным (такого эффекта никогда не будет в бесконечномерном пространстве относительно топологии, порождаемой нормой). Это позволяет более детально изучить ряд геометрических вопросов для множеств из
X'
, например установить структуру произвольного компактного выпуклого множества как замкнутой оболочки своих крайних точек (теорема Крейна — Мильмана).
Важной задачей Ф. а. является отыскание общего вида функционалов для конкретных пространств. В ряде случаев (помимо гильбертова пространства) это удаётся сделать, например (l>p
)¢, p
> 1, состоит из функций вида å
x>j
e>j
, где
