Большая Советская Энциклопедия (ФУ) - [27]

на основе функционально простых элементов типа транзисторов, диодов, резисторов и т.д.).

Функциональное пространство

Функциона'льное простра'нство, совокупность функций с определённым для них тем или иным способом понятием расстояния или, более общо, близости. Ф. п., содержащее вместе с каждыми двумя элементами f₁ и f₂ все их линейные комбинации af₁ + bf₂ , где a и b — действительные или комплексные числа, называемые линейным Ф. п. Примером линейного Ф. п. является пространство С (a , b ) всех непрерывных функций на некотором отрезке [а , b ] с расстоянием r(f₁ , f₂ ) между двумя функциями, определяемым формулой

.

  Важнейшие конкретные линейные пространства , рассматриваемые в функциональном анализе , являются Ф. п.

Функциональные уравнения

Функциона'льные уравне'ния, весьма общий класс уравнений, в которых искомой является некоторая функция. К Ф. у. по существу относятся дифференциальные уравнения , интегральные уравнения , уравнения в конечных разностях (см. Конечных разностей исчисление ); следует, однако, отметить, что название «Ф. у.» обычно не относят к уравнениям этих типов. Под Ф. у. в узком смысле слова понимают уравнения, в которых искомые функции связаны с известными функциями одного или нескольких переменных при помощи операции образования сложной функции. Ф. у. можно также рассматривать как выражение свойства, характеризующего тот или иной класс функций [например, Ф. у. (x ) = f (—x ) характеризует класс чётных функций, Ф. у. f (x + 1) = f (x ) — класс функций, имеющих период 1, и т.д.].

  Одним из простейших Ф. у. является уравнение f (x + у ) = f (x ) + f (y ). Непрерывные решения этого Ф. у. имеют вид f (x ) = Cx . Однако в классе разрывных функций это Ф. у. имеет и иные решения. С рассмотренным Ф. у. связаны

f (x + у ) = f (x ) f (y ), f (xy ) — f (x ) + f (y ),

f (xy ) = f (x ) f (y ),

непрерывные решения которых имеют соответственно вид e^Cx , C lnx , x^a (x > 0). Т. о., эти Ф. у. могут служить для определения показательной, логарифмической и степенной функций.

  В теории аналитических функций Ф. у. часто применяются для введения новых классов функций. Например, двоякопериодические функции характеризуются Ф. у. f (z + а ) = f (z ) и f (z + b ) = f (z ), автоморфные функции — Ф. у. f (s_az ) = f (z ), где {s_a } — некоторая группа дробно-линейных преобразований. Если функция известна в некоторой области, то знание для неё Ф. у. позволяет расширить область определения этой функции. Например, Ф. у . f (x + 1) = f (x ) для периодических функций позволяет определить их значение в любой точке по значениям на отрезке [0, 1]. Этим часто пользуются для аналитического продолжения функций комплексного переменного. Например, пользуясь Ф. у. Г (z + 1) = z Г (z ) и зная значения функции Г (z ) (см. Гамма-функция ) в полосе 0 £ Rez £ 1, можно продолжить её на всю плоскость z .

  Условия симметрии, имеющиеся в какой-либо физической задаче, обусловливают определённые законы преобразования решений этой задачи при тех или иных преобразованиях координат. Этим определяются Ф. у., которым должно удовлетворять решение данной задачи. Значение соответствующих Ф. у. во многих случаях облегчает нахождение решений.

  Решения Ф. у. могут быть как конкретными функциями, так и классами функций, зависящими от произвольных параметров или произвольных функций. Для некоторых Ф. у. общее решение может быть найдено, если известны одно или несколько его частных решений. Например, общее решение Ф. у. f (x ) = f (ax ) имеет вид j[w(x )], где j(x ) — произвольная функция, а w(x ) — частное решение этого Ф. у. Для решения Ф. у. их во многих случаях сводят к дифференциальным уравнениям. Этот метод даёт лишь решения, принадлежащие классу дифференцируемых функций.

  Другим методом решения Ф. у. является метод итераций . Этот метод даёт, например, решение уравнения Абеля f [a(x )] = f (x ) + 1 [где a(x ) — заданная функция] и связанного с ним уравнения Шрёдера f [a(x )] = cf (x ). А. Н. Коркин доказал, что если a(х ) — аналитическая функция, то уравнение Абеля имеет аналитическое решение. Эти результаты, нашедшие применение в теории групп Ли (см. Непрерывные группы ), привели в дальнейшем к созданию теории итераций аналитических функций. В некоторых случаях уравнение Абеля решается в конечном виде. Например, Ф. у. f (xⁿ ) = f (x ) + 1 имеет частное решение

.

  Лит.: Ацель Я., Некоторые общие методы в теории функциональных уравнений одной переменной. Новые применения функциональных уравнений, «Успехи математических наук», 1956, т. 11, в. 3, с. 3—68.

«Функциональный анализ и его приложения»

«Функциона'льный ана'лиз и его' приложе'ния», научный журнал Отделения математики АН СССР, публикующий оригинальные работы по актуальным вопросам функционального анализа и его приложений, а также информационные материалы. Издаётся в Москве с 1967. Ежегодно выходит 1 том, состоящий из 4 выпусков. Тираж (1977) около 1500 экз.

Функциональный анализ (математ.)

Функциона'льный ана'лиз, часть современной математики, главной задачей которой является изучение бесконечномерных пространств и их отображений. Наиболее изучены линейные пространства и линейные отображения. Для Ф. а. характерно сочетание методов классического анализа, топологии и алгебры. Абстрагируясь от конкретных ситуаций, удаётся выделить аксиомы и на их основе построить теории, включающие в себя классические задачи как частный случай и дающие возможность решать новые задачи. Сам процесс абстрагирования имеет самостоятельное значение, проясняя ситуацию, отбрасывая лишнее и открывая неожиданные связи. В результате удаётся глубже проникнуть в сущность математических понятий и проложить новые пути исследования.