Бесчисленное поддается подсчету. Кантор. Бесконечность в математике. - [2]

Аристотель не ограничился постулированием несуществования актуальной бесконечности, он привел несколько аргументов в поддержку этого тезиса, которые мы рассмотрим далее. Тем не менее необходимо сказать, что аристотелевское отрицание актуальной бесконечности оказывало влияние на европейскую философию на протяжении двух тысячелетий.

Помимо силы доводов столь длительное господство его идеи объясняется двумя причинами.

Прежде всего, человеческий разум не в состоянии представить себе актуальную бесконечность, поэтому нам проще принять то, что на самом деле ее не существует. Мы скорее представим потенциальную бесконечность — количество, которое бесконечно возрастает, — но не актуальную бесконечность. Как выглядела бы, например, прямая действительно бесконечной длины? Нужно представить себе линию целиком (то есть то, что мы «видим» в воображении, не должно быть отрезком прямой), но при этом бесконечную. Однако наш разум неспособен создать такой образ. Мы можем представить линию, которая уходит за горизонт, и сказать, что она продолжается до бесконечности, но в таком случае мы «видим» прямую с длиной, «бесконечной в потенции», так как наше зрение охватывает только ее часть. Или же возьмем числа 0,1,2,3,4,5 и так далее. Представить этот ряд как действительно бесконечный значило бы представить все числа без исключений в одном списке, но при этом этот список не должен кончаться. Нашему разуму это не под силу.

Вторая причина, по которой аристотелевский подход к бесконечности имел такой успех, состоит в том, что, рассуждая о бесконечности как о реальности, нельзя не столкнуться с логическими противоречиями или прийти к странным выводам — как Зенон, заключивший, что изменений и движения не существует. Еще один пример относится к XVII веку, когда перед Галилео Галилеем возникли противоречия, впоследствии приведшие его к отрицанию актуальной бесконечности. В XIX веке чешский математик Бернард Больцано попытался развить теорию математической бесконечности, но и он обнаружил парадоксы, для которых не смог найти удовлетворительного решения. Далее мы разберем оба случая.

Не все соглашались с идеей Аристотеля. Так, в I веке римский философ и поэт Лукреций в своей учебной поэме De rerum natura («О природе вещей») провозгласил, что Вселенная бесконечна. В противном случае, отмечал он, у нее была бы граница, и если мы бросим камень с силой, достаточной, чтобы он пролетел через нее, то камень будет существовать уже вне Вселенной. А это невозможно, так как ничто не существует за ее пределами по определению. Сегодня мы знаем, что аргументация Лукреция ошибочна и Вселенная может быть конечной, не имея при этом границы, как поверхность шара — конечная, но без предела. Согласно современным космологическим теориям, вполне вероятно, что Вселенная конечна. Тем не менее возражения Аристотелю были редки, и, как уже было сказано, его идеи господствовали в философии и математике примерно до 1870 года. Тогда русско-немецкий математик Георг Кантор, как он сам признавал, фактически против воли следуя логике собственных исследований, ввел в математику изучение актуальной бесконечности. Задача была непростой, не столько из-за сложности, сколько из-за резкого неприятия ее многими коллегами. Речь шла о нарушении тысячелетней традиции. Ученого даже называли «шарлатаном» и «развратителем молодежи».

Однако Кантора это не остановило: он был убежден в вероятности и даже необходимости создания математической теории бесконечности. Благодаря своей непреклонной логике он развил одну из самых удивительных на сегодняшний день теорий и использовал новый подход к математике — более свободный и дающий множество возможностей. Одной из самых оригинальных концепций Кантора стали ординалы — числа, позволяющие вести исчисление за пределами бесконечности. После бесконечного ряда чисел 0, 1,2, 3, 4, 5,..., по утверждению Кантора, следует трансфинитное (то есть ординальное) число ω. Затем идут ω + 1, ω + 2, ω + 3,..., а после этого ряда ω + ω + 1, ω + ω + 2,... и так далее.

Но правильно ли «изобретать» эти числа таким произвольным способом? Что обозначает число ω? До XIX века все понятия, которыми оперировали математики, были тесно связаны с более или менее конкретными задачами, с ситуациями, представляемыми или связанными с реальностью. Например, описание физических явлений, изучение свойств геометрических объектов или конечных рядов чисел (1, 2, 3, 4,...). Так, 0, обозначающий «количество, которого нет», не сразу был признан полноценным числом, на это ушло несколько столетий. То же самое и с отрицательными числами: еще в XVIII веке Лейбниц не считал их существующими. В целом числа признавались, только если они так или иначе обозначали некое количество, которое можно зрительно представить.

Число ω обозначает актуально бесконечное количество; ни один предмет, ни одно физическое явление не поможет представить его, оно есть только в нашем сознании. Тем не менее Кантор со своими строго логическими рассуждениями «заставил» нас принять его за существующее, для чего ученому пришлось изменить подход к математике. Сегодня к математическим концепциям больше не предъявляются требования соответствовать реальности или представлять конкретное явление. Они только должны быть логически последовательными. За исключением этого ограничения, математики абсолютно вольны создавать, исследовать, анализировать, играть с понятиями, идеями и теориями.