Алгоритмы неформально. Инструкция для начинающих питонистов - [18]
Алгоритмы, описанные в следующей главе, позволяют выполнять с математическими функциями некоторые практичные и полезные задачи: определять максимум и минимум. После того как мы обсудили алгоритмы вообще и их место в истории, вы начнете лучше понимать, что они собой представляют и как работают, и будете готовы заняться более серьезными алгоритмами, которые применяются в большинстве высокотехнологичных программных продуктов, разрабатываемых в наши дни.
3. Максимизация и минимизация
В жизни мы, как правило, стараемся избегать крайностей, но в мире алгоритмов интерес обычно представляют экстремальные значения. Некоторые мощные алгоритмы предназначены для поиска максимумов (например, максимальная прибыль, максимальная эффективность, максимальная производительность) и минимумов (минимальные затраты, минимальная вероятность ошибки, минимальный дискомфорт и т.д.). В этой главе мы изучим градиентный подъем и градиентный спуск — два простых, но действенных метода эффективного нахождения максимумов и минимумов функций. Кроме того, рассмотрим некоторые проблемы, присущие задачам максимизации и минимизации, и способы их решения. Наконец, мы обсудим, как узнать, уместно ли использовать тот или иной алгоритм в конкретной ситуации. Начнем с гипотетического сценария — выбора оптимальной ставки налога для максимизации доходов правительства и посмотрим, как использовать алгоритм для поиска решения.
Выбор ставки налога
Представьте, что вас избрали премьер-министром небольшой страны. Перед вами стоят амбициозные цели, но нет средств для их реализации. А значит, после вступления в должность вы первым делом должны максимизировать поступления от налогов, которые собирает ваше правительство.
Остается понять, какую ставку следует выбрать для максимизации налоговых поступлений. Если ставка налога составляет 0 %, то вы получите нулевые поступления в бюджет. При 100 % налогоплательщики наверняка постараются избежать какой-либо производственной деятельности и начнут искать лазейки настолько усердно, что поступления тоже будут близкими к нулю. Для оптимизации поступлений необходимо найти правильный баланс между ставками настолько высокими, что они подавляют производственную деятельность, и настолько низкими, что сборы оказываются недостаточными. Но чтобы достичь этого баланса, следует больше узнать о том, как налоговая ставка связана с поступлениями.
Шаги в правильном направлении
Допустим, вы обсуждаете проблему со своей командой экономистов. Они понимают, о чем идет речь, и возвращаются в научно-исследовательскую лабораторию. Там они применяют средства, используемые ведущими учеными-экономистами всего мира: колбы, астролябии, колеса с бегающими хомячками и ивовые прутья для лозоходства, чтобы определить точную связь между ставкой налога и поступлениями.
Через какое-то время экономисты сообщают, что нашли функцию, связывающую ставку налога с поступлениями, и написали ее для вас на Python. Можно предположить, что функция выглядит примерно так:
import math
def revenue(tax):
return(100 * (math.log(tax+1) - (tax - 0.2)**2 + 0.04))
Эта функция Python получает ставку налога в аргументе и возвращает числовой вывод. Сама функция хранится в переменной revenue. Вы запускаете Python для построения простого графика и вводите с консоли приведенную ниже программу. Как и в главе 1, мы воспользуемся модулем matplotlib ради функциональности построения графиков.
import matplotlib.pyplot as plt
xs = [x/1000 for x in range(1001)]
ys = [revenue(x) for x in xs]
plt.plot(xs,ys)
plt.title('Tax Rates and Revenue')
plt.xlabel('Tax Rate')
plt.ylabel('Revenue')
plt.show()
На графике приводятся налоговые поступления (в миллиардах денежных единиц вашей страны), которые ожидает получить ваша команда для всех ставок налога от 0 до 1 (где 1 соответствует 100 %-ной налоговой ставке). Если в вашей в настоящее время установлена ставка 70 %, то в код можно добавить две строки для нанесения этой точки на кривую:
import matplotlib.pyplot as plt
xs = [x/1000 for x in range(1001)]
ys = [revenue(x) for x in xs]
plt.plot(xs,ys)
current_rate = 0.7
plt.plot(current_rate,revenue(current_rate),'ro')
plt.title('Tax Rates and Revenue')
plt.xlabel('Tax Rate')
plt.ylabel('Revenue')
plt.show()
В итоге мы получаем простой график, как на рис. 3.1.
Рис. 3.1. Связь между ставкой налога и поступлениями; точка представляет текущее значение ставки
Согласно формуле экономистов, текущая ставка налога не обеспечивает максимальных поступлений в бюджет. Хотя простое визуальное изучение графика приблизительно показывает, какой уровень соответствует максимальным поступлениям, приближенная оценка вас не устраивает, и вы хотите найти более точное значение для оптимальной ставки налога. По графику видно, что любое повышение ставки от текущих 70 % приведет к снижению поступлений, а некоторое снижение текущей ставки должно повысить поступления, поэтому в данной ситуации максимизация поступлений требует снижения ставки налога.
В правильности этой оценки можно убедиться и более формально: для этого следует вычислить производную формулы поступлений, полученной от экономистов.
