Алексей Васильевич Шубников (1887—1970) - [32]

Существование такой работы А. В. Шубникова меня тогда озадачило. Да ведь он не только блестящий экспериментатор и исследователь природы, а и математик» [Л. 57, с. 383].

Круг проблем, связанных с заполнением плоскости и пространства, очерчен в двух статьях А. В. Шубникова [15, 25].

Этот вопрос имеет давнюю историю. В 1611 г. гениальный Кеплер в небольшом трактате «О шестиугольном снеге» задался вопросом о первопричине образования звездчатой шестиугольной формы снежных кристалликов. Заимствовав у пчел форму ромбододекаэдра, И. Кеплер писал: «Итак, мы имеем дело с известной геометрической фигурой, наиболее правильной, заполняющей пространство так же, как, например, шестиугольник, четырехугольник, треугольник заполняют плоскости».[* Цит. по кн.: Шафрановский И. И. Кристаллографические представления И. Кеплера и его трактат «О шестиугольном снеге». М.: Наука, 1971, с. 4.] Разбор различных возможных шаровых упаковок привел его к плотнейшей шаровой кубической упаковке (табл. 6).

Другая плотнейшая, а именно гексагональная, упаковка открыта В. Барлоу лишь в конце XIX в. Исходя из шаровых укладок. Кеплер выводит три идеальных параллелоэдра: ромбододекаэдр, гексагональную призму с пинакоидом и куб. Кубооктаэдр, известный еще строителям Софийского собора в Константинополе и положенный в основу при проектировании центрального купола, был введен в кристаллографию Е. С. Федоровым, а И. Кеплеру оставался неизвестным.

Интересные соображения, связанные с упаковкой идентичных частиц, высказывал И. Ньютон в «Оптике», М. В. Ломоносов в работе «О рождении и природе селитры». Для полноты картины в список приверженцев решетчатого строения кристаллов XVII—XVIII вв. следует добавить имена Вестфельда и Бергмана, полагавших, что кристаллы кальцита построены из одинаковых крошечных ромбоэдров, примыкающих друг к другу своими гранями и заполняющих пространство без промежутков.

Таким образом, идея решетчатого строения кристаллов буквально «висела в воздухе» перед тем, как французским кристаллографом Р. Ж. Гаюи была создана первая по времени теория структуры кристаллов. Чисто опытным путем Гаюи нашел пять типов примитивных спайных «кирпичиков», из которых только параллелепипед, гексагональная призма и ромбододекаэдр заполняют пространство. Но в 1824 г. А. Зеебер пришел к заключению о невозможности сказать что-либо достоверное об истинной форме гипотетических элементарных «кирпичиков», и это натолкнуло его на мысль заменить их центром тяжести. Этот подход привел Зеебера к системе точек, которую он и назвал впервые «пространственной решеткой». С этого момента развитие теории заполнения пространства происходит по двум направлениям — кристаллографическому и математическому. Оба они пересекаются в трудах Б. Н. Делоне.[* Делоне Б. Н., Галиулин Р. В., Штогрин М. И. Теория Браве и ее обобщение на я-мерные решетки. — В кн.: Браве О. Избранные научные труды. Л.: Наука, 1974, с. 309—413; Современная теория правильных разбиений эвклидова пространства. — В кн.: Федоров Е. С. Правильное деление плоскости и пространства. Л.: Наука, 1979, с. 235—260.]

Таблица 6*

Год	Автор	Предмет открытия
1611	Кеплер	Первые идеи о геометрии шаровых упаковок
1721	Ньютон	Идеи кристаллической решетки
1824—1831	Зеебер, Гаусс	Определение понятия решетки и ее свойств в теории чисел
1835	Франкенгейм	15 решеток
1848	Дирихле	Понятие «областей Дирихле»
1849	Браве	14 решеток
1885	Федоров	«Начала учения о фигурах». Параллелоэдры
1897	Барлоу	Плотнейшая гексагональная упаковка
1899	Федоров	Правильное деление плоскости и пространства
1908	Вороной	Алгоритм вывода всех примитивных параллелоэдров я-мерного пространства
1916	Шубников	11 комбинаторно-различных разбиений плоскости
1924	Шубников	Идеи разбиения многомерных пространств
1930	Лавэс	11 комбинаторно-различных разбиений плоскости
1934	Коксетер	Вывод групп с отражениями для я-мерных пространств
1934	Делоне, Александров	Теория кристаллического «состояния» с точки зрения теории решеток, параллелоэдров
1939	Шубников	Пространственные калейдоскопы (7 коксетеровских групп)
1947	Белов	Полная систематика плотнейших шаровых упаковок
1959	Делоне	Завершение теории планигонов
1961	Делоне, Сандакова	Доказательство основной теоремы стереоэдров и алгоритм построения стереоэдров Дирихле
1965	Заморзаев	Контрпример к основной теореме о стереоэдрах
1974—1979	Делоне,	Теория Браве и ее обобщение на п- мерные решетки
	Галиулин,	Современная теория правильных разбиений евклидова пространства
	Штогрин

* Ссылки на первоисточники содержатся в работах Б. Н. Делоне с соавторами; Делоне Б. Н. и др. Теория Браве... .

Рассмотрим вначале кристаллографическое направление. Следующим шагом в развитии теории решетчатого строения кристаллических тел был вывод в 1835 г. М. Л. Франкенгеймом 15 решетчатых расположений. Эта проблема была окончательно решена О. Браве, который свел их к 14 решеткам, названным впоследствии его именем.

Следующий этап развития кристаллографического направления — это труды Е. С. Федорова. В 1885 г. увидели свет его «Начала учения о фигурах», в которых впервые устанавливаются законы заполнения пространства параллелоэдрами, дается их полный список с учетом деформации, определяется понятие стереоэдра. Последние он связывает с правильными системами точек. Проблема правильного деления плоскости и пространства окончательно решена в монографии Е. С. Федорова, кристаллографическая направленность которой видна из следующего высказывания автора: «Теория кристаллического строения, помимо всего прочего, выдвинула следующую чисто геометрическую проблему: закономерно разделить бесконечное воображаемое пространство на конгруэнтные и соответственно симметрично-равные конечные пространственные фигуры».[* Федоров Е. С. Правильное деление плоскости и пространства. Л.: Наука, 1979, с. 7.]