Алексей Васильевич Шубников (1887—1970) - [31]

Поскольку весь этот раздел теории симметрии связан с именем А. В. Шубникова, кратко рассмотрим пути его дальнейшего развития. Теория симметрии подобия и вывод групп развивались исследователями Кишиневской школы с 1963 по 1970 г. На основе связи групп симметрии подобия с группами направленных стержней, впевые отмеченной в работе Э. И. Галярского и А. М. Заморзаева, выведены двумерные группы симметрии и антисимметрии подобия, расширенные впоследствии до цветной симметрии и различного рода антисимметрии подобия. В 1967 г. вывод двумерных групп был расширен до вывода конических (с особенной плоскостью), а затем трехмерных групп, базирующихся на аналогии между группами цветной симметрии и группами симметрии подобия.

На примере теории симметрии подобия выпукло обрисовывается вклад А. В. Шубникова в теорию симметрии. В процессе развития теории симметрии подобия идеи А. В. Шубникова пересекались с его же идеями по антисимметрии, теории предельных и некристаллографических групп.

В работе А. В. Шубникова [158] намечено развитие теории ортогональной симметрии и в направлении гомологии, т. е. эквиаффинных преобразований. В самом деле, при анализе пар многогранников Л. Пастера автор вводит «в качестве особого симметричного преобразования косое отражение в плоскости и в качестве нового элемента симметрии косую плоскость симметрии» [158, с. 5]. Ревизуя само понятие равенства, А. В. Шубников определяет понятие «косого поворота... вокруг косой оси...» [158, с. 6]. Иными словами, автор вводит в рассмотрение принципы, лежащие в основе гомологии. По словам В. И. Михеева: «Важно заметить, что А. В. Шубников указывает на тесную связь косых элементов симметрии с однородными деформациями Е. С. Федорова...

Значение указанных работ А. В. Шубникова очень велико. Главное их достоинство в том, что они намечают несколько различных путей дальнейшего развития учения о симметрии. Один из этих путей совпадает с тем, который был принят Е. С. Федоровым и продолжен К. Виола...

Косые оси и плоскости симметрии были найдены А. В. Шубниковым попутно при решении проблемы о перспективах развития учения о симметрии, и сами они не были предметом специального исследования. Вероятно, этим и объясняется, что в работах не рассмотрены вопросы сложения косых плоскостей и осей симметрии, не упоминается о косых эллиптических осях симметрии или эллиптических осях гомологии».[* Михеев В. И. Гомология кристаллов. Л.: Гостоптехиздат, 1961, с. 32.]

Отметим, что в этой же работе А. В. Шубникова [158] упоминается о новом развитии понятия симметричности, которое в современной терминологии принято называть кратной антисимметрией. Иначе невозможно интерпретировать следующее высказывание автора: «Что касается... принципа сочетания альтернатив — не обязательно только двух, но и многих альтернатив, то он наверняка найдет себе применение для описания самых разнообразных множеств (многообразий) природных материальных образований» [158, с. 10].

На основе многогранников Л. Пастера в этой же работе фактически впервые возникает понятие «простой и кратной антисимметрии стереоэдров».

В заключение этого раздела приведем слова А. В. Шубникова: «Могут существовать самые разнообразные трактовки симметрии. Целесообразность той или иной из них определяется практикой, назначением для истолкования явлений природы, то есть относительных движений в широком философском смысле. Какой бы трактовки симметрии мы бы ни придерживались, одно остается обязательным: нельзя рассматривать симметрию, без,- ее антипода — диссимметрии.. В симметрии отражается та сторона явлений, которая соответствует покою, а в диссимметрии — та их сторона, которая отвечает движению. Нет максимальной и минимальной симметрии, как нет абсолютного покоя и абсолютного движения.

Единое понятие симметрии—диссимметрии неисчерпаемо» [151, с. 163].

С 1953 по 1956 г., А. В. Шубников неоднократно возвращался к анализу проблем, связанных с гомологией, уточняя и детализируя свою точку зрения на этот вопрос. Он утверждал: «В основе учения о симметрии при любом его аспекте лежит представление о равенстве частей фигуры и об одинаковости их взаимного расположения. В природных индивидах — растениях, животных, кристаллах — роль равных и одинаково расположенных частей фигуры нередко играют части одинаковой формы, но разной величины, то есть части подобные. При кристаллизации они образуются всегда в тех случаях, когда процесс кристаллизации просходит ритмически (кольца Лизеганга, спирали роста, ритмические сферолиты). Развитие учения о симметрии подобия должно стать, по нашему мнению, одной из важных задач современной теоретической кристаллографии» [244, с. 7].

Геометрические работы

Прежде чем рассматривать работы А. В. Шубникова в области геометрии, приведем высказывания Б. Н. Делоне, затрагивающие интересующий нас вопрос: «...я узнал, что в своей работе еще 1916 г. „К вопросу о строении кристаллов" Алексей Васильевич показал, что есть 11, и только 11, комбинаторно разных разбиений плоскости на то, что он называл в этой работе „планатомы". Это разбиение дуально с разбиением на „планигоны“. В 1931 году Ф. Лавэс заново открыл этот факт, то есть число И (для планигонов), и только в сноске к своей работе отмечает, что он узнал, что этот геометрический факт был уже 15 лет перед тем открыт А. В. Шубниковым.