Алекс в стране чисел. Необычайное путешествие в волшебный мир математики - [18]
Но особенно восхищало Лейбница поразительное согласие между двоичной системой и его религиозными воззрениями. Он верил, что в основании всех явлений лежит «бытие» (или субстанции) и «небытие» (или «ничто»). Эта двойственность идеально выражалась числами 1 и 0. Подобно тому как Бог создал все бытие из пустоты, все числа можно записать в терминах единиц и нулей. К немалой радости Лейбница, его убежденность в том, что в двоичной системе выражена фундаментальная метафизическая истина, получила подтверждение, когда позднее он познакомился с древним китайским мистическим текстом «И Цзин» — «Книгой Перемен». С помощью этой книги можно заглянуть в будущее. В ней содержится 64 различных символа, каждый из которых сопровождается набором афоризмов. Гадающий случайным образом выбирает какой-то символ (традиционно — бросая веточки тысячелистника) и интерпретирует соответствующие комментарии — получается нечто вроде того, что можно прочитать в астрологическом прогнозе. Каждый символ в «Книге Перемен» представляет собой гексаграмму, то есть составлен из шести горизонтальных линий. Эти линии могут быть целыми (им соответствует ян) или иметь разрывы (им соответствует инь). Все 64 гексаграммы в «Книге Перемен» представляют собой полный набор комбинаций, составленных из инь и ян, сгруппированных по шесть.
Особенно изящный способ упорядочить все гексаграммы показан на рисунке. Если каждый янь записывается как 0, а каждый инь — как 1, то выписанная последовательность в точности соответствует двоичным числам от 0 до 63.
Это упорядочение известно также как последовательность Фу Си[8]. (Строго говоря, это упорядочение, обратное последовательности Фу Си, но математически они эквивалентны.) Лейбниц обнаружил двоичную природу последовательности Фу Си и, в соответствии с этим, «высоко оценил глубину „Книги Перемен“». Поскольку он считал, что двоичная система отражает Божественный промысел, сделанное им открытие, что она лежит также в основе даоистской мудрости, означало, что восточный мистицизм не противоречит западным религиозным воззрениям. «Субстанция древней теологии китайцев сохранена без потерь и, будучи избавлена от дополнительных ошибок, может быть поставлена на службу великим истинам христианской религии», — писал он.
Как тут было не восхититься двоичной системой! Однако в те времена восторженное ее принятие выглядело в научных кругах довольно эксцентрично. И тут Лейбниц, полагая, что эта система имеет значение фундаментальной важности, проявил поразительный дар предвидения. Он и сам не мог тогда вообразить, насколько прав в своих утверждениях относительно основания 2. Цифровой век целиком основан на двоичной системе, поскольку компьютерные технологии на самом базисном уровне оперируют на языке, составленном из нулей и единиц. «Увы! — писал математик Тобиас Данциг. — То, что некогда превозносилось как памятник монотеизму, в конце концов превратилось в потроха робота».
«Свобода — это свобода сказать, что два плюс два равно четырем», — утверждал Уинстон Смит, главный герой романа Джорджа Оруэлла «1984». Оруэлл имел в виду не только свободу слова в Советском Союзе, но и математику. Два плюс два — всегда четыре. Никто не может утверждать, что это не так. Математические истины не подвержены влиянию культуры и идеологии.
С другой стороны, наш подход к математике в весьма значительной степени подвержен влиянию культуры. Выбор основания десять, например, был сделан не по математическим причинам, а по физиологическим, отражающим число пальцев на руках и ногах. Языки также порой выражают математическое знание довольно занятным образом.
Почти во всех западноевропейских языках слова, выражающие числа, не подчиняются какому-то одному, постоянному правилу. Так, в английском языке существуют «двадцать один» (twenty one), «двадцать два» (twenty-two), «двадцать три» (twenty three), но при этом англоязычные люди не говорят «десять один», «десять два», «десять три» — вместо этого есть «одиннадцать», «двенадцать», «тринадцать». «Одиннадцать» («eleven») и «двенадцать» («twelve») — единственные в своем роде, и, хотя «тринадцать» (thirteen) представляет собой комбинацию трех и десяти, та часть, которая относится к тройке, идет перед десяткой — в противоположность слову «двадцать три», в котором часть, относящаяся к тройке, идет после части, выражающей двадцать. Между десятью и двадцатью в английском языке полный разброд.
