Золотое сечение. Математический язык красоты - [11]

Глава 2 «Золотой» прямоугольник

Из предыдущей главы мы узнали, как традиционно определяется золотое сечение: отрезок прямой линии делится в крайнем и среднем отношении, если длина всего отрезка относится к большей части так, как большая часть — к меньшей. Другими словами, целое относится к большей части как большая часть к меньшей. Теперь давайте посмотрим, как можно использовать крайнее и среднее отношение для деления на части различных фигур.

Деление отрезка в крайнем и среднем отношении

Имеется отрезок АВ длины а. Мы хотим найти точку X, которая делит отрезок на две части в отношении Ф. Это деление выполняется в три этапа:

а) построим прямоугольный треугольник с катетами а и а/2 (половина длины а);

б) проведем дугу окружности с центром в точке С и радиусом СВ (равным а/2). Эта дуга пересекает сторону АС в точке S;

в) затем проведем еще одну дугу окружности с центром в точке А и радиусом AS, которая пересекает сторону АВ в точке X. Эта точка X удовлетворяет условию АХ = х = АС — (а/2) и, следовательно, является искомой точкой. Также мы можем проверить, что выполняется условие АХ/ХВ = Ф.

Этот подход называется методом построения. Почему он дает нам золотое сечение? Точка X будет искомой точкой, если она удовлетворяет условию:

АВ/АХ = АХ/ХВ

а/х = х/(а — х)

х∙х = а∙(а — х)

х² — а² — ах

х² + ах = а²

x² + ax + a²/4 = a² + a²/4

(1)

Используя формулу для квадрата суммы (s + t)² = s² + 2st + t², перепишем формулу (1) в виде:

(x + (a/2))² = a² + (a/2)². (2)

Применяя теорему Пифагора к выражению (2), мы видим, что у прямоугольного треугольника с катетами а и а/2 длина гипотенузы равна (х + а/2).

Именно такова длина гипотенузы АС, равная (х + а/2), так как CS = СВ = а/2, а AS = х = AХ.

Прямоугольники и золотое сечение

В наши дни большинство людей носит в кошельках и сумочках множество карточек: кредитные карты, визитные карточки, пропуски в библиотеку и в спортзал, а также водительские права и удостоверение личности. Мы пользуемся ими ежедневно, не обращая внимания на тот факт — вовсе не случайный и немаловажный — что большинство карточек имеет одинаковый размер и форму, по крайней мере, те же пропорции.

Чтобы убедиться в этом, достаточно измерить и сравнить стороны карточек-прямоугольников. Отношение большей стороны к меньшей в большинстве случаев является числом, очень близким к 1,618, числу Ф. Поэтому не случайно, что это отношение у большинства карт является одним и тем же, это стандартные размеры.

Мы используем отношение сторон для определения типов прямоугольников. Если у двух прямоугольников это число одинаково, мы говорим, что они одного типа. В математических терминах прямоугольники с таким свойством являются подобными прямоугольниками. Таким образом, два прямоугольника со сторонами m, n и р, q (где m < n и р < q) будут подобными, если:

m/n = p/q. (3)

Существует очень простой и эффективный способ определить, удовлетворяют ли два прямоугольника этому свойству, без измерения сторон и вычисления отношений, даже без использования карандаша и бумаги. Надо только совместить один угол меньшего прямоугольника с углом большего и продолжить его диагональ. Если продолжение диагонали меньшего прямоугольника является также диагональю большего прямоугольника, то эти прямоугольники подобны.

Прямоугольник характеризуется отношением m/n. Мы назовем это отношение форматным отношением k, так что m/n равно k. Чем меньше отношение m/n, тем более вытянут прямоугольник. С другой стороны, если тип равны, то мы получим знакомую фигуру — квадрат. Квадрат — это особый тип прямоугольника с форматным отношением 1. Таким образом, не все прямоугольники подобны карточкам в наших кошельках. Еще один пример прямоугольников, не являющихся «золотыми», — это теле- и киноэкраны. Раньше стороны телеэкранов имели отношение 4:3. Постепенное изменение формата в настоящее время привело к новому стандарту: современные широкоэкранные цифровые телевизоры имеют отношение сторон 16:9. В обоих случаях отношение показывает соотношение между длинами сторон. Если смотреть фильм на экранах двух разных типов, можно увидеть, как соотношение между длинами сторон влияет на изображение. На старых телевизорах, например, человеческие фигуры более тонкие, более вытянутые по вертикали, в то время как на широкоэкранных телевизорах герои старых фильмов выглядят более приземистыми. Чем объясняется эта разница, и какое из двух изображений искажено? Простой расчет показывает, что экраны телевизоров не являются подобными прямоугольниками. С математической точки зрения очевидно, что 9/16 не равно 3/4. Давайте посчитаем: 3/4 = 0,75, а 9/16 = 0,5625. Форматное отношение прямоугольника классического телевизора больше. Широкоэкранные телевизоры искажают изображения старых фильмов по горизонтали, чтобы заполнить вытянутый экран, из-за чего вещи кажутся шире, чем на самом деле.

Противоположный эффект возникает, когда широкоэкранный фильм показывается на экране формата 4:3. Поэтому, как правило, изображение обрезается по краям, чтобы поместиться на такой экран, так что мы теряем не только часть изображения, но и большую часть панорамного эффекта.