Знак вопроса, 1997 № 02 - [76]

Запреты приводят к примитизированному, однобокому миропониманию. Недаром Г. Гессе иронизировал:

А потому для пресеченья трений

Откажемся от лишних измерений.

Уступка. Пер. С. Аверинцева

ПАРАДОКСАЛЬНАЯ ЭФФЕКТИВНОСТЬ МАТЕМАТИКИ

Проще всего, разумеется, запретить использование парадоксальных понятий. Так обычно и поступают в основаниях математики и логике. Однако необходимость решения практических задач вынуждала математиков снова и снова прибегать к услугам парадоксальных объектов.

Обратимся к основам математики. Привычные для каждого из нас отрицательные числа являются парадоксальным понятием. Их введение было нелегким качественным скачком. В средневековой Европе математики пользовались отрицательными числами долгое время с отвращением, да и то только потому, что получался верный ответ. Великий Декарт называл их «ложными числами». В «Мыслях» Паскаля есть выразительное признание: «Я знаю людей, которые никак не могут понять, что если из нуля вычесть четыре, то получится нуль». Таким образом, он считал вычитание из нуля операцией, лишенной смысла. Кардано включал отрицательные величины в число корней рассматриваемых им уравнений, но полагал, что это просто символы, лишенные реального смысла. Он называл их фиктивными корнями.

Отрицательные числа возникли в результате обобщения операции вычитания на случай, когда она невозможна. Действительно, попробуйте со стола, где лежат 5 яблок, взять 7 яблок. Этот пример приводил математик Л. Карно, живший при Наполеоне (и бывший даже при нем министром внутренних дел). Впрочем, это отрицательное число может быть алгебраически представлено упорядоченной парой (5, 7), которая выражает 5–7 или -2. Детальный анализ такого подхода и его важность в школьном преподавании математики дается в книге М. Клайна «Почему Джонни не может складывать», посвященной трудностям школьной реформы в США.

Значные числа, то есть числа, взятые со знаком, являются краткой записью упорядоченных пар. Например, отрицательное число —1 = (0, 1), а положительное число + 1 = (1, 0). Они отличаются как проигрыш со счетом 0:1 от выигрыша со счетом 1:0 (заметим, что в англоязычных странах записывают счет 0–1 и 1–0, соответственно). Поэтому следует различать +1 и его модуль — просто 1, на что указывал наш известный кристаллограф академик А. В. Шубников.

Проблема парадоксов свидетельствует о том, как трудно осознать логическую многомерность. Уже введение отрицательных чисел носило парадоксальный характер. Интересный довод против отрицательных чисел выдвинул близкий друг Паскаля, теолог и математик Антуан Арно (1612–1697). Арно усомнился в том, что — 1: 1 = 1: — 1. Как может выполняться такое равенство, спрашивал он, если —1 меньше, чем 1? Ведь меньшее число не может относиться к большему так же, как большее к меньшему. Решению парадокса Арно можно дать наглядную геометрическую интерпретацию. Первое отношение выражает наклон одного вектора, а второе отношение — наклон противоположного вектора. Но отождествление этих векторов неправомерно.

Если вектор имеет координаты X, Y, Z, то он записывается в виде тройки (X, У, Z). Трудности введения векторов в XIX веке в электромагнитную теорию Максвелла объясняются необходимостью преодоления психологического барьера. Даже великий Г. Герц при описании электрической силы вместо вектора рассматривал лишь разрозненные координаты. Широкому внедрению векторов в научную практику мы во многом обязаны гению О. Хевисайда, который любовно называл своего гениального предшественника «heaven-sent Maxwell» (посланный небом Максвелл) и открыл также ионизационный слой, позволивший Маркони осуществить коротковолновую радиосвязь через Атлантический океан.

Практически волей-неволей (volens-nolens) математики уже давно оперируют с логическими векторами. Именно они являются основными, фундаментальными в математике. Алгебраическое неизвестное «до» не могло появиться в склонной к рационализму солнечной Греции. Это могло быть сделано только в окутанной туманом мистики Древней Индии. Интересно отметить, что неизвестное «до» было введено в Индии под названием «йават-тават», что буквально означает «столько-сколько». Введение противоречивого понятия «известное неизвестное» позволило действовать с неизвестными как с известными величинами. Это дало поразительный эффект. При решении задач алгебраическим методом легко устраняются значительные трудности, которые приходится преодолевать с помощью искусственных приемов при решении обычным арифметическим методом. Поэтому в наше время мало кто хочет пользоваться «непротиворечивым неизвестным». Это «очевидно» даже первокласснику. Впрочем, привычка еще не означает понимания сущности.

Простейшая модель — это «двуединство», двумерный логический вектор. Пара — это не просто

«двое = один + один».

Так, например, вместо формулы заборной арифметики:

«Ваня + Таня = любовь» в векторной алгебре логики получим вектор

ПАРОЧКА = (Ваня, Таня),

подобно тому как в математике имеем вектор R = (х, у). Вектор

ЧЕТА = (муж, жена)

имеет компоненты: женатый мужчина (муж) и замужняя женщина (жена). Вместо независимых элементов — мужчины и женщины — имеем взаимозависимые аспекты единого вектора («муж и жена — одна сатана»).