Живой учебник геометрии - [36]
a/b = g/a и c/b = p/c
Следовательно:
a2= bq
c2= bp
Отсюда имеем:
a2+ c2= bq+ bp= (b+ q)b= bb= b2
Это равенство, a2+ c2= b2, и выражает соотношение, которое требовалось доказать.
Открытие установленного сейчас соотношения приписывается древнему математику Пифагору; отсюда название этого положения «т е о р е м а Пифагора». (Т е о р е м а м и в математике называются все те утверждения, истинность которых становится очевидной только после доказательства).
Применения
84. Есть ли прямой угол в треугольнике со сторонами 5 см, 12 см и 13 см?
Р е ш е н и е. Если этот треугольник прямоугольный, то самая длинная его сторона, 13 см, есть гипотенуза, а тогда между нею и катетами (5 см и 12 см) должно существовать соотношение:
52+ 122= 132= 169.
Так как 25 + 144 = 169, то требуемое соотношение между сторонами действительно существует, и значит в рассматриваемом треугольнике против стороны 13 см лежит прямой угол.
85. Найти гипотенузу треугольника, катеты которого 19 см и 40 см:
Р е ш е н и е.
86. Из гавани отплыл в северном направлении пароход со скоростью 18 морских миль в час. Одновременно из той же гавани отплыл другой пароход в западном направлении со скоростью 24 миль в час. Какое расстояние разделяло их через час?
Р е ш е н и е. Искомое расстояние есть гипотенуза треугольника, катеты которого равны 18 милям и 24 милям. По теореме Пифагора,
Пароходы будут отделены расстоянием в 30 миль.
87. Найти площадь равнобедренного треугольника, основание которого 15 м. Боковая сторона 19,5 м.
Р е ш е н и е. Высота, проведенная к основанию этого треугольника, вычисляется по теореме Пифагора; она равна
Поэтому искомая площадь = 1/2 15 • 18 = 135 кв. м.
88. Надо вырезать из листа жести равносторонней треугольник площадью 260 кв. см. Какой длины должна быть его сторона?
89. Каково соотношение между площадями квадратов, построенных на сторонах прямоугольного треугольника (черт. 207).
Р е ш е н и е. Так как площади квадратов построенных на сторонах прямоугольного треугольника, выражаются квадратами этих сторон, то, по теореме Пифагора, сумма квадратов, построенных на катетах, равна квадрату, построенному гипотенузе.
Соотношение это существует, как легко понять, также между площадями кругов, построенных на сторонах прямоугольного треугольника.
90. Начертить круг, площадь которого равна сумме площадей двух данных; кругов.
Р е ш е н и е. Радиус искомого круга должен быть такой длины х, чтобы ?x2= xR2+ ?r2, где R и r– радиусы данных кругов. Сократив это уравнение на имеем: x2= R2+ r2. Отсюда ясно, что искомый радиус есть гипотенуза треугольника, катеты которого rи R.
§ 72. Другие соотношения в прямоугольном треугольнике
1) Устанавливая в предыдущем параграфе зависимость между сторонами прямоугольного треугольника, мы попутно вывели, что (черт. 206)
a2= bq,
c2= bp.
Выражая это соотношение словесно, мы скажем, что
к в а д р а т к а ж д о г о к а т е т а р а в е н п р о и з в е д е н и ю и з г и п о т е н у з ы и п р о е к ц и и э т о г о к а т е т а н а г и п о т е н у з у.
2) Кроме того, из подобия треугольников I и II следует, что
р : h= h: q, где h – высота,
т. е. h (высота) есть повторяющийся член непрерывной пропорции, другие члены которой есть р и q. Повторяющийся член непрерывной кратной пропорции принято называть средне-пропорциональным (или средне-геометрическим) между двумя остальными членами. Поэтому сейчас установленную зависимость можно высказать так:
в ы с о т а, п р о в е д е н н а я к г и п о т е н у з е, е с т ь с р е д н е – п р о п о р ц и о н а л ь н а я м е ж д у о т р е з к а м и г и п о т е н у з ы. Далее, из пропорции р : h = h: q следует, что h2= pq, т. е.
к в а д р а т в ы с о т ы, п р о в е д е н н о й к г и п о т е н у з е, р а в е н п р о и з в е д е н и ю о т р е з к о в г и п о т е н у з ы.
§ 73. Соотношения между отрезками перпендикулярных хорд
Проведем через: какую-нибудь точку окружности (черт. 208) перпендикуляр CDк диаметру АВ. Легко видеть, это этот перпендикуляр есть высота, проведенная к гипотенузе треугольника АСВ, так как угол АСВ – прямой (почему?). Поэтому
AD: DC = DC: DB,
или (DC)2= AD: DB;
другими словами:
п е р п е н д и к у л я р, п р о в е д е н н ы й и з к а к о й – н и б у д ь т о ч к и о к р у ж н о с т и к д и а м е т р у, е с т ь с р е д н е – п р о п о р ц и он а л ь н о е м е ж д у о т р е з к а м и д и а м е т р а. Этим свойством можно пользоваться, между прочим, в тех случаях, когда требуется построить к двум данным отрезкам средне-пропорциональный. Если данные отрезки а и l и требуется найти отрезок х такой длины, чтобы
а : х = х : l,
то откладывают рядом а и l (черт. 209), строят на АС, как на диаметре, полуокружность и из точки В восставляют перпендикуляр до пересечения с окружностью в точке D: отрезок BD = x.
Повторительные вопросы к §§ 71–73
Какое вы знаете соотношение между катетами и гипотенузой? – Между гипотенузой, катетом и его проекцией на гипотенузу? – Между высотой, проведенной к гипотенузе, и отрезком гипотенузы? – Между перпендикуляром, проведенным из точки окружности к диаметру и отрезками диаметра? – Что значит: найти? средне-пропорциональное между двумя отрезками? Как это сделать?
