Зеркальный мир - [17]

Этой большой улитке около 50 млн. лет. Ее витки закручены по букве Z

Морской узел «плоский штык» дает нам еще один прекрасный пример симметрии. Здесь необходимо рассматривать не только симметрию формы, но и симметрию нагрузки. Наш перекрестный узел можно завязать (правильно!) таким образом, что вначале связываются между собой концы каната, которые впоследствии должны испытывать нагрузку. Но можно завязать его и так, что нагруженный конец будет соединен со свободным, ненагруженным («самораспускающийся» узел). В.завязанном виде оба узла практически неразличимы. Однако если нагрузить неверно завязанный узел, то он не станет держать. Как говорят моряки, узел «разъедется».

Именно его и используют в своих представлениях фокусники и иллюзионисты. Раньше, когда на кораблях еще существовали гамаки, всегда находились услужливые помощники крепить новичку его гамак. Естественно, среди ночи доверчивый новичок оказывался на полу.

Математикам и инженерам нередко приходится заниматься узлами и решать связанные с ними задачи. Теоретически интересно знать, какие существуют типы узлов. Но практиков волнует иной вопрос: как создать транспортный узел для беспрепятственного движения потоков автомашин или людей. Такого рода «узлы» можно видеть на топологической схеме наземного и подземного транспорта Берлина.

Существуют даже патенты на узлы. Имеется, например, американский патент, основанный на специальном узле - ленте Мёбиуса. Немецкий математик Август Фердинанд Мёбиус (1790-1868), перекрутив один раз плоскую ленту под углом 180°, склеил оба ее конца. Эта лента обладает удивительным свойством. Если мы, коснувшись пальцем одной из ее сторон (заметим которой), будем скользить им вдоль по поверхности, то обнаружим, что у этой ленты существует только одна поверхность (не перекрученная таким образом лента, естественно, имеет две поверхности). На этом свойстве и основан патент. При использовании приводного ремня (говорится в патентном описании) его внутренняя сторона, пробегающая над ведущим и ведомым колесами, со временем снашивается и становится непригодной. При использовании ленты Мёбиуса по существу исчезает разница между внутренней и внешней поверхностью и износ ремня соответственно намного уменьшается. Собственно, это и было запатентовано.

Саморазвязывающийся узел, которым часто пользуются фокусники. Если потянуть за 'нужный' конец, узел распустится

Если сделать ленту Мёбиуса прозрачной и нанести на нее какой-нибудь значок, скажем букву N, то обнаружится, что противолежащие фигуры соотносятся как изображение и его зеркальное отражение. Это весьма любопытно, учитывая, что «прямая» и «противолежащая» буквы находятся на одной стороне ленты! Ведь у ленты вообще всего одна поверхность.

При конструировании сложных пересечений важно знать одно свойство узлов, которое мы выведем с помощью эксперимента. Нарисуйте любой транспортный узел. Он может быть запутанным и неправильным. Пометьте только каждое пересечение буквой, разумеется, в каждом случае разной. Теперь ведите карандашом или пальцем по вашему рисунку в направлении, обратном тому, в каком вы рисовали. И всякий раз, проходя пересечение, записывайте соответствующую букву. Чтобы результат (который мы стремимся найти) был нагляднее, записывайте буквы в два ряда: либо слева направо, либо сверху вниз. Важно только, чтобы вы чередовали перекрестки (в зависимости от того, проходит улица над или под другой). Причем не играет роли, каким вы приняли первое пересечение - верхним или нижним. Когда табличка будет готова и вы как следует проверите ее, то обнаружите, что каждая буква, обозначающая перекресток, встречается в каждом из рядов по одному разу.

Симметричен ли изображенный здесь морской узел?

Представьте себе, что вы должны спроектировать систему светофоров, регулирующих проезд транспорта. В одном ряду окажутся все светофоры, включенные на зеленый свет, в то время как все светофоры другого ряда должны быть включены на красный.

Фокусники-любители используют знание теории узлов для изящного «эксперимента по чтению мыслей». Вы просите нарисовать подобный узел и обозначить его буквами (не подглядывая), а потом предлагаете объехать препятствие, называя буквы (которые фокусник записывает по известной уже схеме). В каком-нибудь месте два перекрестка «путаются». И фокусник, «читая» мысли, называет встретившиеся буквы. Как легко проверить, перепутавшиеся буквы дважды попадутся в одном ряду.

Всякий перекресток - это задача на 'узлы'. На изображенном здесь перекрестке существует 32 возможности столкновения

В заключение этого раздела еще один вопрос: а что произойдет, если ленту Мёбиуса разрезать вдоль? В случае простой, не перевернутой ленты это ясно: получатся две новые ленты, которые будут вдвое уже первой. Что же случится с лентой Мёбиуса, которую мы предварительно перекрутили, прежде чем склеить ее концы, трудно и представить! Если после одного поворота уже «исчезла» одна сторона, то в этом случае можно ждать чего угодно. Сформулируем вопрос несколько иначе: что случится, если владелец запатентованной ременной передачи разрежет ее вдоль, чтобы из экономии получить две ременные передачи? Опыт подсказывает нам, что двух новых лент не получится. Возникнет замкнутая лента, вдвое большей длины. Она, хотя и перевита, но, как всякая нормальная лента, снова имеет две стороны.