Западноевропейская наука в средние века: Общие принципы и учение о движении - [115]

является «средним» (арифметическим) двух чисел k и m, если l, k, m рассматриваются, говоря современным языком, как конечные множества, сравниваемые между собой по количеству элементов, т. е. с точки зрения их мощности. Поэтому оно может быть названо «средним» в количественном смысле, поскольку l = (k + M)/2 означает, что l содержит вдвое меньше единиц, чем (k+m). С другой стороны, l можно получить из k и m, прибавляя или отнимая одно и то же число п. В этом случае l указывает границу двух элементарных шагов, с помощью которых можно перейти от k к т (или от т к k): двухкратным прибавлением п к k (соответственно двухкратным вычитанием п из т). Число l как граница двух элементарных шагов может быть названо «средним» без какой-либо апелляции к количеству единиц, содержащихся в нем, независимо даже от того, представимо ли вообще оно в виде множества, — оно будет средним в порядке порождения, поскольку занимает среднее положение в порождаемой последовательности. Очевидно, что «среднее» по количеству и «среднее» по порядку, имея различные, причем независимые определения, совсем необязательно должны совпадать, точно так же, как количественные и порядковые характеристики вообще.

Движение, понятое как порождающий процесс, связывает в момент своей реализации оба вида величин воедино, или, если угодно, наоборот: интерпретация движения в виде процесса порождения заставляет ввести конструкцию, совмещающую в себе черты количественных и порядковых величин. Одной из самых смелых и глубоких интуиции мертонской школы было как раз открытие этой связи, и большое доказательство Суайнсхеда демонстрирует механизм, обеспечивающий совпадение среднеарифметического (a + b)/2 = c средним (в плане временной последовательности) положением с по отношению к а и b. Суайнсхед, как отмечалось, считал, что ему удалось доказать такое совпадение, показав, что оно является простым следствием равноускоренного движения. В мертонском определении равноускоренного движения не содержится ничего другого, кроме утверждения факта совпадения соотношений, характеризующих ряды количественных и порядковых величин. Равным приращениям времени сопоставляются равные приращения скорости, или в другой формулировке: если все время движения разделить на части, уменьшающиеся в непрерывной пропорции, то отношение скоростей на концах полученных временных отрезков будет описываться той же самой непрерывной пропорцией. Иначе говоря, указанное совпадение является синонимом равноускоренного движения, его нельзя ни вывести, ни доказать; его можно было только открыть.

б) Доказательство Уильяма Хейтсбери

В более раннем доказательстве теоремы о среднем градусе, принадлежащем Хейтсбери, разъяснению основных пунктов этого открытия посвящена значительная часть текста, причем у Хейтсбери еще более ясно, чем у Суайнсхеда, выражено стремление доказать эти пункты.

Например, выдвигается ряд аргументов с целью обосновать положение, что «для всякой широты, начинающейся от покоя и заканчивающейся на некотором конечном градусе, средний градус есть точно половина того градуса, которым заканчивается эта широта» [103, 278]. Констатация совпадения среднего «по количеству» и среднего «по порядку» составляет нерв доказательства Хейтсбери, он понимает всю значимость этого факта и хочет его удостоверить с помощью следующего рассуждения. Широта движения состоит из бесконечного числа градусов от 0 до п. В этом континууме можно выделить дискретную последовательность градусов, начинающуюся с n, в которой каждый последующий градус относится к предыдущему, как 2:1, так что градусы, входящие в последовательность, убывают в непрерывной пропорции. Для любой непрерывной пропорции из трех терминов справедливо утверждение, что «каково отношение первого ко второму, или второго к третьему, таково будет и отношение разницы между первым и средним к разнице между средним и третьим» [103, 278—279]. В случае бесконечной пропорции между разностями величин соседних градусов будет такое соотношение: «какова будет разница, такова будет и сумма (aggregatum) всех разниц между последующими терминами» [103, 279]. В подтверждение он ссылается на аналогичное соотношение, имеющее силу для конечных непрерывных пропорций: «какова первая пропорциональная часть любой конечной величины, такова же точно и сумма всех отдельных пропорциональных частей ее» [там же]. Поскольку второй градус в выбранной Хейтсбери бесконечной непрерывной пропорции вдвое меньше первого, а «разность или широта между первым и вторым… будет равна широте, составленной из всех разностей или широт между остальными градусами, т. е. теми, которые следуют за двумя первыми» [там же], то Хейтсбери считает установленным, что средний (в смысле среднеарифметического) градус широты является средним и в другом отношении: он находится на равном расстоянии от крайних градусов широты, т. е. может быть получен из первого вычитанием точно такой же величины, как и неградус из него; иначе говоря, он средний по отношению к процессу преобразования. Вот как этот вывод звучит в изложении Хейтсбери: «Следовательно, совершенно одинаково (equaliter precise) и на равную широту отстоит тот второй градус, относящийся к первому как половина к своему двойному, от того двойного, как этот второй отстоит от не-градуса или от противоположного края данной величины» [103, 279—280].