Занимательная физика. Книга 2 - [31]
Самовар, вмещающий 30 стаканов, полон воды. Вы подставляете стакан под его кран и с часами в руках следите по секундной стрелке, во сколько времени стакан наполняется до краев. Допустим, что в полминуты. Теперь зададим вопрос: во сколько времени опорожнится весь самовар, если оставить кран открытым?
Казалось бы, здесь детски-простая арифметическая задача: один стакан вытекает в 0,5 минуты, — значит, 30 стаканов выльются в 15 минут.
Но сделайте опыт. Окажется, что самовар опоражнивается не в четверть часа, как вы ожидали, а в полчаса.
В чем же дело? Ведь расчет так прост!
Прост, но неверен. Нельзя думать, что скорость истечения с начала до конца остается одна и та же. Когда первый стакан вытек из самовара, струя течет уже под меньшим давлением, так как уровень воды в самоваре понизился; понятно, что второй стакан наполнится в больший срок, чем в полминуты; третий вытечет еще ленивее, и т. д.
Скорость истечения всякой жидкости из отверстия в открытом сосуде находится в прямой зависимости от высоты столба жидкости, стоящего над отверстием. Гениальный Торичелли, ученик Галилея, первый указал на эту зависимость и выразил ее простой формулой:
где v — скорость истечения, g — ускорение силы тяжести, a h — высота уровня жидкости над отверстием. Из этой формулы следует, что скорость вытекающей струи совершенно не зависит от плотности жидкости: легкий спирт и тяжеловесная ртуть при одинаковом уровне вытекают из отверстия одинаково быстро (рис. 56). Из формулы видно, что на Луне, где сила тяжести в 6 раз меньше, чем на Земле, потребовалось бы для наполнения стакана примерно в 2,5 раза больше времени, нежели на Земле.
Но возвратимся к нашей задаче. Если после истечения из самовара 20 стаканов уровень воды в нем (считая от отверстия крана) понизился в четыре раза, то 21-й стакан наполнится вдвое медленнее, чем 1-й. И если в дальнейшем уровень воды понизится в 9 раз, то для наполнения последних стаканов понадобится уже втрое больше времени, чем для наполнения первого. Все знают, как вяло вытекает вода из крана самовара, который уже почти опорожнен. Решая эту задачу приемами высшей математики, можно доказать, что время, нужное на полное опорожнение сосуда, в два раза больше срока, в течение которого вылился бы такой же объем жидкости при неизменном первоначальном уровне.
Рисунок 56. Что скорее выльется: ртуть или спирт? Уровень жидкости в сосудах одинаков.
От сказанного один шаг к пресловутым задачам о бассейне, без которых не обходится ни один арифметический и алгебраический задачник. Всем памятны классически-скучные, схоластические задачи вроде следующей:
«В бассейн проведены две трубы. Через одну первую пустой бассейн может наполниться в 5 часов; через одну вторую полный бассейн может опорожниться в 10 часов. Во сколько часов наполнится пустой бассейн, если открыть обе трубы сразу?»
Задачи этого рода имеют почтенную давность — без малого 20 веков, восходя к Герону Александрийскому. Вот одна из героновых задач, — не столь, правда, замысловатая, как ее потомки:
Две тысячи лет решаются задачи о бассейнах и — такова сила рутины! — две тысячи лет решаются неправильно. Почему неправильно — вы поймете сами после того, что сейчас сказано было о вытекании воды. Как учат решать задачи о бассейнах? Первую, например, задачу решают так. В 1 час первая труба наливает 0,2 бассейна, вторая выливает 0,1 бассейна; значит, при действии обоих труб в бассейн ежечасно поступает 0,2 – 0,1 = 0,1 откуда для времени наполнения бассейна получается 10 часов. Это рассуждение неверно: если втекание воды можно считать происходящим под постоянным давлением и, следовательно, равномерным, то ее вытекание происходит при изменяющемся уровне и, значит, неравномерно. Из того, что второй трубой бассейн опоражнивается в 10 часов, вовсе не следует, что ежечасно вытекает 0,1 доля бассейна; школьный прием решения, как видим, ошибочен. Решить задачу правильно средствами элементарной математики нельзя, а потому задачам о бассейне (с вытекающей водой) вовсе не место в арифметических задачниках[38].
Рисунок 57. Задача о бассейне.
Возможно ли устроить такой сосуд, из которого вода вытекала бы все время равномерной струёй, не замедляя своего течения, несмотря на то, что уровень жидкости понижается? После того, что вы узнали из предыдущих статей, вы, вероятно, готовы счесть подобную задачу неразрешимой.
Между тем это вполне осуществимо. Банка, изображенная на рис. 58, — именно такой удивительный сосуд. Это обыкновенная банка с узким горлом, через пробку которой вдвинута стеклянная трубка. Если вы откроете кран C ниже конца трубки, то жидкость будет литься из него неослабевающей струёй до тех пор, пока уровень воды не опустится в сосуде до нижнего конца трубки. Вдвинув трубку почти до уровня крана, вы можете заставить всю жидкость, находящуюся выше уровня отверстия, вытечь равномерной, хотя и очень слабой струёй.
